Кіріспе
Леви ұшуы – қадам ұзындығы тұрақты таралымға ие кездейсоқ жүріс, яғни ауыр құйрықты ықтималдық таралымы. Егер бір өлшемнен артық кеңістіктегі жүріс ретінде қарастырылса, онда қадамдар изотроптық кездейсоқ бағыттарда жасалады. Кейінгі зерттеушілер "Леви ұшуы" терминін дискретті торда орын алатын кездейсоқ жүрістерге де қолдана бастады, үздіксіз кеңістікке ғана шектемей. Бұл қадам өлшемдерінің таралуының нақты бір анықтамасы. Ол қадам өлшемдерінің таралуы Коши таралымы болған жағдайда "Коши ұшуы" терминін, ал таралу қалыпты таралым болғанда "Рейли ұшуы" терминін қолданды (бірақ қалыпты таралым ауыр құйрықты ықтималдық таралымының мысалы емес). Мандельброт "Леви ұшуы" терминін қолданған ерекше жағдай осы. Мұнда D – фракталды өлшемге байланысты параметр, ал таралым Парето таралымының ерекше жағдайы болып табылады.
A Lévy flight is a random walk in which the step lengths have a stable distribution, a probability distribution that is heavy tailed. When defined as a walk in a space of dimension greater than one, the steps made are in isotropic random directions. Later researchers have extended the use of the term "Lévy flight" to also include cases where the random walk takes place on a discrete grid rather than on a continuous space. who used this for one specific definition of the distribution of step sizes. He used the term Cauchy flight for the case where the distribution of step sizes is a Cauchy distribution, and Rayleigh flight for when the distribution is a normal distribution (which is not an example of a heavy tailed probability distribution). The particular case for which Mandelbrot used the term "Lévy flight"
Here D is a parameter related to the fractal dimension and the distribution is a particular case of the Pareto distribution.
Қасиеттері
Леви ұшулары, құрылымы бойынша, Марков процестері болып табылады. Қадам өлшемінің жалпы таралымдары үшін, қуат тәрізді шартты қанағаттандырса, кездейсоқ жүрістің бастапқы нүктеден қашықтығы, көптеген қадамдардан кейін, жалпыланған орталық шек теоремасының нәтижесінде тұрақты таралымға жақындайды, бұл көптеген процестерді Леви ұшуларын қолдана отырып модельдеуге мүмкіндік береді. Леви ұшуын бастан кешіретін бөлшектердің ықтималдық тығыздықтарын, әдетте Браун қозғалысын модельдеу үшін қолданылатын Фокер-Планк теңдеуінің жалпыланған түрі арқылы модельдеуге болады. Теңдеу бөлшек туындыларды қолдануды қажет етеді. Секундық ұзындығы симметриялық ықтималдық таралымына ие болса, теңдеу Риездің бөлшек туындысы түрінде қарапайым болады. Бір өлшемде теңдеу мынадай болып жазылады:
мұнда γ – диффузиялық тұрақтыға ұқсас тұрақты, α – тұрақтылық параметрі және f(x,t) – потенциал. Риез туындысын оның Фурье түрлендіруі арқылы түсінуге болады. Бұл оңай бірнеше өлшемге кеңейтілуі мүмкін. Леви ұшуының тағы бір маңызды қасиеті – барлық жағдайларда дисперсияның шексіздікке ұшуы, α = 2 болған жағдайды қоспағанда, яғни Браун қозғалысы. Жалпы, таралудың θ-бөлшектік моменті α ≤ θ болған жағдайда шексіздікке ұшырайды. Сонымен қатар,
қадам ұзындығының экспоненциалдық масштабталуы Леви ұшуларына масштабты инвариантты қасиет береді және олар кластерленуді көрсететін деректерді модельдеу үшін қолданылады.