Введение

Случайное блуждание с тяжелыми хвостовыми длинами шага

Леви-лет – это случайное блуждание, в котором длины шагов имеют стабильное распределение, то есть распределение вероятностей с тяжелыми хвостами. Когда оно определяется как блуждание в пространстве размерности больше единицы, шаги совершаются в изотропных случайных направлениях. Позднее исследователи расширили использование термина «Леви-лет», включив в него также случаи, когда случайное блуждание происходит на дискретной сетке, а не в непрерывном пространстве. Он использовал это для одного конкретного определения распределения размеров шагов. Он использовал термин «полет Коши» для случая, когда распределение размеров шагов является распределением Коши, а «полет Рэлея» – для случая, когда распределение является нормальным (которое не является примером распределения вероятностей с тяжелыми хвостами). Особый случай, для которого Мандельброт использовал термин «Леви-лет».

Здесь D – параметр, связанный с фрактальной размерностью, а распределение является частным случаем распределения Парето.

Свойства

Леви-полеты по построению являются марковскими процессами. Для общих распределений размера шага, удовлетворяющих степенному условию, расстояние от начала координат случайного блуждания, после большого числа шагов, стремится к устойчивому распределению в силу обобщенной центральной предельной теоремы, что позволяет моделировать множество процессов с использованием леви-полетов. Плотность вероятности для частиц, совершающих леви-полет, может быть смоделирована с помощью обобщенной версии уравнения Фоккера-Планка, которое обычно используется для моделирования броуновского движения. Уравнение требует использования дробных производных. Для длин прыжков, имеющих симметричное распределение вероятностей, уравнение принимает простую форму в терминах дробной производной Рисса. В одном измерении уравнение имеет вид:

где γ – константа, аналогичная константе диффузии, α – параметр устойчивости, а f(x,t) – потенциал. Производную Рисса можно понимать через ее преобразование Фурье. Это легко обобщается на многомерные случаи. Другим важным свойством леви-полетов является расходимость дисперсии во всех случаях, кроме α = 2, то есть броуновского движения. В общем случае, θ-ый дробный момент распределения расходится, если α ≤ θ. Также,

Экспоненциальное масштабирование длин шагов наделяет леви-полеты свойством масштабно-инвариантности, и они используются для моделирования данных, демонстрирующих кластеризацию.