Введение
Класс предельных порядковых чисел
В теории множеств предельный ординал — это порядковое число, которое не является ни нулем, ни следующим ординалом. Альтернативно, ординал λ является предельным ординалом, если существует ординал, меньший λ, и для любого ординала β, меньшего λ, существует ординал γ такой, что β < γ < λ. Каждое порядковое число является либо нулем, либо следующим ординалом, либо предельным ординалом. Например, наименьший предельный ординал — это ω, наименьший ординал, больший любого натурального числа. Это предельный ординал, потому что для любого меньшего ординала (то есть любого натурального числа) n можно найти другое натуральное число, большее его, но все еще меньшее ω (например, n+1). Следующий наименьший предельный ординал — это ω+ω. Это будет рассмотрено далее в статье. Согласно определению ординалов фон Неймана, каждый ординал является хорошо упорядоченным множеством всех меньших ординалов. Объединение непустого множества ординалов, не имеющего наибольшего элемента, всегда является предельным ординалом. Согласно кардинальному соответствию фон Неймана, каждое бесконечное кардинальное число также является предельным ординалом.
Свойства
Классы последовательных и предельных порядковых чисел (различных кофинальностей), а также ноль исчерпывают весь класс порядковых чисел, поэтому эти случаи часто используются в доказательствах трансфинитной индукцией или определениях трансфинитной рекурсией. Предельные порядковые числа представляют собой своего рода "поворотный момент" в таких процедурах, где необходимо использовать предельные операции, такие как взятие объединения по всем предшествующим порядковым числам. В принципе, на предельных порядковых числах можно выполнять любые операции, но взятие объединения непрерывно в топологии порядка, и это обычно желательно. Если используется кардинальное присваивание фон Неймана, каждое бесконечное кардинальное число также является предельным порядковым числом (и это уместное замечание, поскольку термин "кардинал" происходит от латинского слова *cardo*, означающего "шарнир" или "поворотный пункт"): доказательство этого факта сводится к тому, чтобы показать, что каждое бесконечное последовательное порядковое число эквивалентно по мощности предельному порядковому числу, используя аргумент "Гостиницы бесконечности". Кардинальные числа имеют собственное понимание преемственности и предела (всё переходит на более высокий уровень).