Кіріспе
Жинақтар теориясында кардиналдық тұжырымдамасы, теорияның өзінде кардиналдық сандарды объектілер ретінде нақты анықтамай-ақ, айтарлықтай дамытылуға болады (шын мәнінде, Фреге осы көзқарасты ұстанған; Фреге кардиналдары – эквинумерозиті арқылы жинақтардың бүкіл ғаламшарындағы эквиваленттік сыныптар). Тұжырымдамалар функциялар арқылы эквинумерозитіні, сондай-ақ біртен-бірге және бетке (инъективтілік және сюръективтілік) тұжырымдамаларын анықтау арқылы дамытылады; бұл бізге көлем бойынша бүкіл ғаламшарға қатысты квази-реттелу қатынасын береді. Бұл толыққанды бөлігіш реттелу емес, өйткені антисимметрия міндетті түрде орындалмайды: егер екеуі де және орындалса, Кантор–Бернштейн–Шредер теоремасы бойынша A және B эквинумеросты, бірақ олар сөзсіз бірдей болуы міндетті емес (изоморфизмді қараңыз). Кем дегенде, және орындалуы таңдау аксиомасына эквивалентті болып шығады. Дегенмен, кардиналдық және оның арифметикасы туралы көптеген қызықты нәтижелер тек =c арқылы ғана айтылуы мүмкін. Кардиналдық тағайындаманың мақсаты – әрбір A жинағына A жинағының кардиналдығына ғана тәуелді болатын нақты, бірегей жинақты тағайындау. Бұл Кантордың кардиналдар туралы бастапқы көзқарасына сәйкес келеді: жинақты алып, оның элементтерін канондық «бірліктерге» абстракциялау және осы бірліктерді басқа жинаққа жинақтау, осы жинақтың ерекшелігі оның мөлшері ғана болуы керек. Бұл қатынас бойынша толық реттелген болады, ал =c – нақты теңдік болады. Алайда, Я.Н. Мошовакис айтқандай, бұл көбінесе математикалық әсемдікпен айналысу, және сіз «индекстерге аллергияңыз» болмаса көп пайда көре алмайсыз. Дегенмен, жинақтар теориясының әртүрлі модельдерінде «нақты» кардиналдық сандардың түрлі құнды қолданыстары бар. Қазіргі жинақтар теориясында біз көбінесе фон Нейманның кардиналдық тағайындамасын қолданамыз, ол реттік сандар теориясын және таңдау мен алмастыру аксиомаларының толық күшін пайдаланады. Кардиналдық тағайындамалар лайықты кардиналдық арифметиканы және барлық жинақтарға тағайындама жасауды қаласақ, таңдау аксиомасын толыққанды қажет етеді.
on the whole universe by size. It is not a true partial ordering because antisymmetry need not hold: if both and , it is true by the Cantor–Bernstein–Schroeder theorem that i. e. A and B are equinumerous, but they do not have to be literally equal (see isomorphism). That at least one of and holds turns out to be equivalent to the axiom of choice. Nevertheless, most of the interesting results on cardinality and its arithmetic can be expressed merely with =c. The goal of a cardinal assignment is to assign to every set A a specific, unique set that is only dependent on the cardinality of A. This is in accordance with Cantor's original vision of cardinals: to take a set and abstract its elements into canonical "units" and collect these units into another set, such that the only thing special about this set is its size. These would be totally ordered by the relation , and =c would be true equality. As Y. N. Moschovakis says, however, this is mostly an exercise in mathematical elegance, and you don't gain much unless you are "allergic to subscripts." However, there are various valuable applications of "real" cardinal numbers in various models of set theory. In modern set theory, we usually use the Von Neumann cardinal assignment, which uses the theory of ordinal numbers and the full power of the axioms of choice and replacement. Cardinal assignments do need the full axiom of choice, if we want a decent cardinal arithmetic and an assignment for all sets.
Таңдау аксиомасы жоқ негізгі тапсырма
Формальды түрде, таңдау аксиомасын қабылдасақ, X жиынының кардиналдығы – X пен α арасында биекция болатын ең кіші ординал α болып табылады. Бұл анықтама фон Нейманның кардиналдық сәйкестендіруі деп аталады. Егер таңдау аксиомасы қабылданбаса, біз басқаша істеуіміз керек. X жиынының кардиналдығының ең ерте анықтамасы (Канторда түсіндірілген, ал Фреге мен Principia Mathematica-да нақты көрсетілген) – X-пен бірдей сандық жиынтықтардың жиыны: бұл ZFC немесе аксиомалық жиын теориясының басқа да жүйелерінде жұмыс істемейді, себебі бұл жиын жиын болу үшін тым үлкен, бірақ ол типтер теориясында және Жаңа негіздер мен оған байланысты жүйелерде жұмыс істейді. Дегенмен, егер осы класс ішіндегі X-пен бірдей сандық және ең төменгі рангіге ие жиынтарға ғана шектесек, онда ол жұмыс істейді (бұл Дана Скотттың тәсілі: ол жұмыс істейді, өйткені кез келген рангідегі объектілердің жиыны – жиын; Скотттың тәсіліне қараңыз).