Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В теории множеств понятие кардинальности значительно развивается без необходимости фактического определения кардинальных чисел как объектов самой теории (фактически, это точка зрения Фреге; кардиналы Фреге по сути являются классами эквивалентности по всей вселенной множеств, основанными на эквинумерозности). Понятия развиваются путем определения эквинумерозности в терминах функций и понятий «один к одному» и «на» (инъективности и сюръективности); это дает нам квази-отношение порядка
In set theory, the concept of cardinality is significantly developable without recourse to actually defining cardinal numbers as objects in the theory itself (this is in fact a viewpoint taken by Frege; Frege cardinals are basically equivalence classes on the entire universe of sets, by equinumerosity). The concepts are developed by defining equinumerosity in terms of functions and the concepts of one to one and onto (injectivity and surjectivity); this gives us a quasi ordering relation
по всей вселенной по размеру. Это не является строгим частичным порядком, поскольку антисимметричность не обязательна: если и , то по теореме Кантора — Бернштейна — Шредера верно, что , то есть множества A и B эквинумерозны, но они не обязаны быть буквально равными (см. изоморфизм). Тот факт, что по крайней мере одно из или выполняется, оказывается эквивалентным аксиоме выбора. Тем не менее, большинство интересных результатов о кардинальности и ее арифметике можно выразить, используя лишь =c. Цель кардинального отображения — сопоставить каждому множеству A конкретное, уникальное множество, которое зависит только от кардинальности A. Это соответствует первоначальному видению Кантора кардиналов: взять множество и абстрагировать его элементы в канонические «единицы» и собрать эти единицы в другое множество, так, чтобы единственным свойством этого множества был его размер. Эти множества будут полностью упорядочены отношением , а =c будет истинным равенством. Однако, как отмечает Я. Н. Мошковакис, это в основном упражнение в математической элегантности, и вы мало что приобретете, если не «аллергичны к индексам». Тем не менее, существуют различные ценные применения «реальных» кардинальных чисел в различных моделях теории множеств. В современной теории множеств мы обычно используем кардинальное отображение фон Неймана, которое использует теорию ординальных чисел и полную силу аксиом выбора и замены. Кардинальным отображениям действительно требуется полная аксиома выбора, если мы хотим получить адекватную кардинальную арифметику и отображение для всех множеств.
on the whole universe by size. It is not a true partial ordering because antisymmetry need not hold: if both and , it is true by the Cantor–Bernstein–Schroeder theorem that i. e. A and B are equinumerous, but they do not have to be literally equal (see isomorphism). That at least one of and holds turns out to be equivalent to the axiom of choice. Nevertheless, most of the interesting results on cardinality and its arithmetic can be expressed merely with =c. The goal of a cardinal assignment is to assign to every set A a specific, unique set that is only dependent on the cardinality of A. This is in accordance with Cantor's original vision of cardinals: to take a set and abstract its elements into canonical "units" and collect these units into another set, such that the only thing special about this set is its size. These would be totally ordered by the relation , and =c would be true equality. As Y. N. Moschovakis says, however, this is mostly an exercise in mathematical elegance, and you don't gain much unless you are "allergic to subscripts." However, there are various valuable applications of "real" cardinal numbers in various models of set theory. In modern set theory, we usually use the Von Neumann cardinal assignment, which uses the theory of ordinal numbers and the full power of the axioms of choice and replacement. Cardinal assignments do need the full axiom of choice, if we want a decent cardinal arithmetic and an assignment for all sets.
Кардинальное присвоение без аксиомы выбора
Формально, при условии аксиомы выбора, кардинальность множества X — это наименьший ординал α, для которого существует биекция между X и α. Это определение известно как отображение кардиналов фон Неймана. Если аксиома выбора не предполагается, необходимо использовать другой подход. Старейшее определение кардинальности множества X (неявно у Кантора и явно у Фреге и в «Principia Mathematica») — это множество всех множеств, равномощных X: это не работает в ZFC или других связанных системах аксиоматической теории множеств, поскольку эта совокупность слишком велика, чтобы быть множеством, но работает в теории типов и в New Foundations и связанных с ними системах. Однако, если ограничить эту совокупность теми равномощными с X множествами, которые имеют наименьший ранг, то это будет работать (это прием, предложенный Даной Скоттом: он работает, поскольку совокупность объектов любого заданного ранга является множеством; см. прием Скотта).
Formally, assuming the axiom of choice, the cardinality of a set X is the least ordinal α such that there is a bijection between X and α. This definition is known as the von Neumann cardinal assignment. If the axiom of choice is not assumed we need to do something different. The oldest definition of the cardinality of a set X (implicit in Cantor and explicit in Frege and Principia Mathematica) is as the set of all sets that are equinumerous with X: this does not work in ZFC or other related systems of axiomatic set theory because this collection is too large to be a set, but it does work in type theory and in New Foundations and related systems. However, if we restrict from this class to those equinumerous with X that have the least rank, then it will work (this is a trick due to Dana Scott: it works because the collection of objects with any given rank is a set; see Scott's trick).