Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Фон Нейманның кардиналдық тағайындамасы – ординалдық сандарды қолданатын кардиналдық тағайындама. Жақсы реттелген жиын U үшін, оның кардиналдық санын U-ге эквивалентті ең кіші ординалдық сан деп анықтаймыз, фон Нейманның ординалдық сан туралы анықтамасын пайдалана отырып. Нақтырақ айтқанда:
The von Neumann cardinal assignment is a cardinal assignment that uses ordinal numbers. For a well orderable set U, we define its cardinal number to be the smallest ordinal number equinumerous to U, using the von Neumann definition of an ordinal number. More precisely:
мұнда ON – ординалдар класы. Бұл ординалды кардиналдың бастапқы ординалы деп те аталады. Мұндай ординалдың бар екендігі және бірегей екендігі U-дың жақсы реттелгендігі және ординалдар класының жақсы реттелгендігімен, орны ауыстыру аксиомасын қолдану арқылы қамтамасыз етіледі. Толық таңдау аксиомасымен, әрбір жиын жақсы реттелген, сондықтан әрбір жиынның кардиналы болады; кардиналдарды ординалдық сандардан мұрагерлік реттеу арқылы реттейміз. Бұл ≤c арқылы реттеумен сәйкес келеді. Бұл кардиналдық сандардың жақсы реттелгені.
where ON is the class of ordinals. This ordinal is also called the initial ordinal of the cardinal. That such an ordinal exists and is unique is guaranteed by the fact that U is well orderable and that the class of ordinals is well ordered, using the axiom of replacement. With the full axiom of choice, every set is well orderable, so every set has a cardinal; we order the cardinals using the inherited ordering from the ordinal numbers. This is readily found to coincide with the ordering via ≤c. This is a well ordering of cardinal numbers.
Кардиналдың бастапқы реттік саны
Әрбір ординалдың оған сәйкес келетін кардиналы бар, оның кардиналдылығы, жай ғана реттілікті естен шығару арқылы алынады. Осы ординалды реттілік типі ретінде қабылдаған кез келген жақсы реттелген жиынның кардиналдылығы бірдей болады. Берілген кардиналды кардиналдығы ретінде иеленетін ең кішкентай ординал сол кардиналдың бастапқы ординалы деп аталады. Кез келген шекті ординал (табиғи сан) бастапқы болып табылады, бірақ көптеген шексіз ординалдар бастапқы емес. Таңдау аксиомасы, кез келген жин жақсы реттелген болуы мүмкін деген тұжырымға тең, яғни әрбір кардиналдың бастапқы ординалы бар. Бұл жағдайда, кардинал санын оның бастапқы ординалымен сәйкестендіру қабылданған, және бастапқы ординал кардинал деп айтылады. n-шы шексіз бастапқы ординал деп жазылады, оның кардиналдылығы деп жазылады (n-шы алеф саны). Мысалы, кардиналдығы , бұл сонымен қатар , , және кардиналдығына тең (барлығы саналатын ординалдар). Сондықтан біз мен сәйкестендіреміз, бірақ белгісі кардиналдарды жазу үшін, ал ординалдарды жазу үшін қолданылады. Бұл маңызды, себебі кардиналдардағы арифметика ординалдардағы арифметикадан өзгеше, мысалы = , ал > . Сондай-ақ, ең кішкентай санауға келмейтін ординал (оның бар екенін көру үшін, табиғи сандардың жақсы реттелген эквиваленттілік кластарының жиынын қарастырайық; әрбір мұндай жақсы реттелген санауға болатын ординалды анықтайды, ал сол жиынның реттілік типі), кардиналдылығы үлкенірек ең кішкентай ординал болып табылады, және т.б., ал табиғи сандар үшін шек (кардиналдардың кез келген шегі кардинал, сондықтан бұл шек шын мәнінде барлық соңғы кардиналдан кейінгі бірінші кардинал). Шегінен тыс бастапқы ординалдар шекті ординалдар болып табылады. Ординалдық арифметиканы қолдану , және 1 ≤ α < ωβ α · ωβ = ωβ дегенді білдіреді, ал 2 ≤ α < ωβ αωβ = ωβ дегенді білдіреді. Веблен иерархиясын пайдаланып, β ≠ 0 және α < ωβ екенін білдіреді, ал Γωβ = ωβ. Шындығында, одан да әрі жетуге болады. Сондықтан, ординал ретінде, шексіз бастапқы ординал – өте күшті шек.
Each ordinal has an associated cardinal, its cardinality, obtained by simply forgetting the order. Any well ordered set having that ordinal as its order type has the same cardinality. The smallest ordinal having a given cardinal as its cardinality is called the initial ordinal of that cardinal. Every finite ordinal (natural number) is initial, but most infinite ordinals are not initial. The axiom of choice is equivalent to the statement that every set can be well ordered, i. e. that every cardinal has an initial ordinal. In this case, it is traditional to identify the cardinal number with its initial ordinal, and we say that the initial ordinal is a cardinal. The th infinite initial ordinal is written Its cardinality is written (the th aleph number). For example, the cardinality of is , which is also the cardinality of , , and (all are countable ordinals). So we identify with , except that the notation is used for writing cardinals, and for writing ordinals. This is important because arithmetic on cardinals is different from arithmetic on ordinals, for example = whereas > Also, is the smallest uncountable ordinal (to see that it exists, consider the set of equivalence classes of well orderings of the natural numbers; each such well ordering defines a countable ordinal, and is the order type of that set), is the smallest ordinal whose cardinality is greater than , and so on, and is the limit of for natural numbers (any limit of cardinals is a cardinal, so this limit is indeed the first cardinal after all the ). Infinite initial ordinals are limit ordinals. Using ordinal arithmetic, implies , and 1 ≤ α < ωβ implies α · ωβ = ωβ, and 2 ≤ α < ωβ implies αωβ = ωβ. Using the Veblen hierarchy, β ≠ 0 and α < ωβ imply and Γωβ = ωβ. Indeed, one can go far beyond this. So as an ordinal, an infinite initial ordinal is an extremely strong kind of limit.