Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Кардинальное присваивание фон Неймана — это кардинальное присваивание, использующее порядковые числа. Для хорошо упорядочиваемого множества U мы определяем его кардинальное число как наименьшее порядковое число, равномощное U, используя определение ординального числа фон Неймана. Более точно:
The von Neumann cardinal assignment is a cardinal assignment that uses ordinal numbers. For a well orderable set U, we define its cardinal number to be the smallest ordinal number equinumerous to U, using the von Neumann definition of an ordinal number. More precisely:
где ON — класс ординалов. Этот ординал также называют начальным ординалом кардинала. Существование и единственность такого ординала гарантируются тем фактом, что U хорошо упорядочено и класс ординалов хорошо упорядочен, согласно аксиоме замены. При полной аксиоме выбора каждое множество хорошо упорядочивается, следовательно, каждое множество имеет кардинальное число; мы упорядочиваем кардиналы, используя порядок, унаследованный от порядковых чисел. Легко показать, что это совпадает с упорядочением посредством ≤c. Это хорошо упорядочение кардинальных чисел.
where ON is the class of ordinals. This ordinal is also called the initial ordinal of the cardinal. That such an ordinal exists and is unique is guaranteed by the fact that U is well orderable and that the class of ordinals is well ordered, using the axiom of replacement. With the full axiom of choice, every set is well orderable, so every set has a cardinal; we order the cardinals using the inherited ordering from the ordinal numbers. This is readily found to coincide with the ordering via ≤c. This is a well ordering of cardinal numbers.
Начальная ординальная цифра кардинала
Каждый ординал имеет связанный с ним кардинал, его мощность, полученную простым игнорированием порядка. Любое вполне упорядоченное множество, имеющее этот ординал в качестве своего типа упорядочения, имеет ту же мощность. Наименьший ординал, имеющий данную мощность, называется начальным ординалом этой мощности. Каждый конечный ординал (натуральное число) является начальным, но большинство бесконечных ординалов не являются начальными. Аксиома выбора эквивалентна утверждению, что каждое множество может быть вполне упорядочено, то есть каждый кардинал имеет начальный ординал. В этом случае принято отождествлять кардинальное число с его начальным ординалом, и мы говорим, что начальный ординал является кардиналом. -й бесконечный начальный ординал записывается как . Его мощность записывается как ( -е число алеф). Например, мощность равна , что также является мощностью , , и (все это счетные ординалы). Таким образом, мы отождествляем с , за исключением того, что обозначение используется для записи кардиналов, а – для записи ординалов. Это важно, потому что арифметика кардиналов отличается от арифметики ординалов, например, = , а >. Также, – наименьший несчетный ординал (чтобы убедиться в его существовании, рассмотрим множество классов эквивалентности вполне упорядоченных натуральных чисел; каждое такое вполне упорядоченное множество определяет счетный ординал, а является типом упорядочения этого множества), – наименьший ординал, чья мощность больше , и так далее, а – предел для натуральных чисел (любой предел кардиналов является кардиналом, поэтому этот предел действительно является первым кардиналом после всех ). Бесконечные начальные ординалы являются предельными ординалами. Используя арифметику ординалов, влечет за собой , а 1 ≤ α < ωβ влечет за собой α · ωβ = ωβ, а 2 ≤ α < ωβ влечет за собой αωβ = ωβ. Используя иерархию Веблена, β ≠ 0 и α < ωβ влечет за собой и Γωβ = ωβ. Действительно, можно зайти гораздо дальше. Таким образом, как ординал, бесконечный начальный ординал является чрезвычайно сильным типом предела.
Each ordinal has an associated cardinal, its cardinality, obtained by simply forgetting the order. Any well ordered set having that ordinal as its order type has the same cardinality. The smallest ordinal having a given cardinal as its cardinality is called the initial ordinal of that cardinal. Every finite ordinal (natural number) is initial, but most infinite ordinals are not initial. The axiom of choice is equivalent to the statement that every set can be well ordered, i. e. that every cardinal has an initial ordinal. In this case, it is traditional to identify the cardinal number with its initial ordinal, and we say that the initial ordinal is a cardinal. The th infinite initial ordinal is written Its cardinality is written (the th aleph number). For example, the cardinality of is , which is also the cardinality of , , and (all are countable ordinals). So we identify with , except that the notation is used for writing cardinals, and for writing ordinals. This is important because arithmetic on cardinals is different from arithmetic on ordinals, for example = whereas > Also, is the smallest uncountable ordinal (to see that it exists, consider the set of equivalence classes of well orderings of the natural numbers; each such well ordering defines a countable ordinal, and is the order type of that set), is the smallest ordinal whose cardinality is greater than , and so on, and is the limit of for natural numbers (any limit of cardinals is a cardinal, so this limit is indeed the first cardinal after all the ). Infinite initial ordinals are limit ordinals. Using ordinal arithmetic, implies , and 1 ≤ α < ωβ implies α · ωβ = ωβ, and 2 ≤ α < ωβ implies αωβ = ωβ. Using the Veblen hierarchy, β ≠ 0 and α < ωβ imply and Γωβ = ωβ. Indeed, one can go far beyond this. So as an ordinal, an infinite initial ordinal is an extremely strong kind of limit.