Кіріспе
Стохастикалық процесс түрі, өрнектелген теориядағы процесс. Ықтималдықтар теориясында тармақталу процесі – бұл математикалық объектінің бір түрі, ол әдетте табиғи немесе теріс емес нақты сандармен индекстелген кездейсоқ айнымалылар жиынтығынан тұрады. Тармақталу процестерінің бастапқы мақсаты – әрбір жеке тұлға ұрпақта белгілі бір кездейсоқ санда жеке тұлғаларды тудыратын популяцияның математикалық моделі ретінде қызмет ету еді. Ең қарапайым жағдайда, бұл жеке тұлғадан жеке тұлғаға өзгермейтін белгілі бір ықтималдық таралымына сәйкес келеді. Тармақталу процестері көбеюді модельдеу үшін қолданылады; мысалы, жеке тұлғалар бактерияларға сәйкес келуі мүмкін, олардың әрқайсысы бір уақыт бірлігінде 0, 1 немесе 2 ұрпақ тудырады, бұл олардың тудыру ықтималдығына байланысты. Тармақталу процестерін ұқсас динамикасы бар басқа жүйелерді модельдеу үшін де қолдануға болады, мысалы, генеалогиядағы әулеттік тегтердің таралуы немесе ядролық реактордағы нейтрондардың таралуы. Тармақталу процестері теориясындағы басты мәселе – толық жойылу ықтималдығы, яғни белгілі бір ұрпақтан кейін ешбір жеке тұлғаның қалмауы. Вальд теңдеуін қолданып, нөлдік буындағы бір жеке тұлғадан бастап, n-ші буынның күтілетін мөлшері μn-ге тең екенін көрсетуге болады, мұнда μ – әр жеке тұлғаның күтілетін бала саны. Егер μ < 1 болса, онда жеке тұлғалардың күтілетін саны тез арада нөлге жақындайды, бұл Марков теңсіздігі бойынша 1 ықтималдығымен толық жойылуға алып келеді. Керісінше, егер μ > 1 болса, толық жойылу ықтималдығы 1-ден кем болады (бірақ міндетті түрде нөл емес; мысалы, әрбір жеке тұлға 0 немесе 100 бала тудыратын, тең ықтималдығы бар процесс қарастырылсын). Бұл жағдайда μ = 50, бірақ толық жойылу ықтималдығы 0,5-тен жоғары, себебі бұл бірінші жеке тұлғаның 0 бала тудыру ықтималдығы). Егер μ = 1 болса, толық жойылу 1 ықтималдығымен орын алады, егер әрбір жеке тұлғаның әрқашан дәл бір баласы болмаса. Теориялық экологияда тармақталу процесінің μ параметрі негізгі репродуктивтік коэффициент деп аталады.
the process in representation theory
In probability theory, a branching process is a type of mathematical object known as a stochastic process, which consists of collections of random variables indexed by some set, usually natural or non negative real numbers. The original purpose of branching processes was to serve as a mathematical model of a population in which each individual in generation produces some random number of individuals in generation , according, in the simplest case, to a fixed probability distribution that does not vary from individual to individual. Branching processes are used to model reproduction; for example, the individuals might correspond to bacteria, each of which generates 0, 1, or 2 offspring with some probability in a single time unit. Branching processes can also be used to model other systems with similar dynamics, e. g., the spread of surnames in genealogy or the propagation of neutrons in a nuclear reactor. A central question in the theory of branching processes is the probability of ultimate extinction, where no individuals exist after some finite number of generations. Using Wald's equation, it can be shown that starting with one individual in generation zero, the expected size of generation n equals μn where μ is the expected number of children of each individual. If μ < 1, then the expected number of individuals goes rapidly to zero, which implies ultimate extinction with probability 1 by Markov's inequality. Alternatively, if μ > 1, then the probability of ultimate extinction is less than 1 (but not necessarily zero; consider a process where each individual either has 0 or 100 children with equal probability. In that case, μ = 50, but probability of ultimate extinction is greater than 0.5, since that's the probability that the first individual has 0 children). If μ = 1, then ultimate extinction occurs with probability 1 unless each individual always has exactly one child. In theoretical ecology, the parameter μ of a branching process is called the basic reproductive rate.
Математикалық тұжырымдамасы
Бранч процесінің ең көп таралған түрі – Гальтон-Уотсон процесі. Zn n-ші кезеңдегі күйді білдірсін (әдетте n-ші ұрпақтың мөлшері ретінде түсіндіріледі), ал Xn,i i-ші мүшесінің n-ші кезеңдегі тікелей ұрпақтарының санын білдіретін кездейсоқ айнымалы болсын, мұнда Xn,i барлық n ∈ {0, 1, 2, …} және i ∈ {1, 2, …, Zn} үшін тәуелсіз және бірдей таралымға ие. Онда рекурренттік теңдеу Z0 = 1 болады. Балама ретінде, бранч процесін кездейсоқ серуен ретінде де қарастыруға болады. Si i-ші кезеңдегі күйді білдірсін, ал Xi барлық i үшін iid болатын кездейсоқ айнымалы болсын. Онда рекурренттік теңдеу S0 = 1 болады. Бұл тұжырымды түсіну үшін, мақсаты әрбір түйінге бару болатын серуенді көзге елестетіңіз, бірақ бұрын бармаған түйінге барған сайын, тағы да түйіндер ашылады, соларға да бару қажет. Si i-ші кезеңде ашылған, бірақ кірмеген түйіндердің санын, ал Xi i-ші түйінге кіргенде ашылатын жаңа түйіндердің санын білдірсін. Онда әр кезеңде ашылған, бірақ кірмеген түйіндердің саны алдыңғы кезеңдегі осындай түйіндердің санына, түйінге кіргенде ашылған жаңа түйіндер санының қосылуымен, кірген түйіннің алынуымен тең болады. Барлық ашылған түйіндерге кіргеннен кейін процесс аяқталады.
with Z0 = 1. Alternatively, the branching process can be formulated as a random walk. Let Si denote the state in period i, and let Xi be a random variable that is iid over all i. Then the recurrence equation is
with S0 = 1. To gain some intuition for this formulation, imagine a walk where the goal is to visit every node, but every time a previously unvisited node is visited, additional nodes are revealed that must also be visited. Let Si represent the number of revealed but unvisited nodes in period i, and let Xi represent the number of new nodes that are revealed when node i is visited. Then in each period, the number of revealed but unvisited nodes equals the number of such nodes in the previous period, plus the new nodes that are revealed when visiting a node, minus the node that is visited. The process ends once all revealed nodes have been visited.
Үздіксіз уақытпен тармақталу процестері
Дискретті уақыт тармақталу процестерінде, барлық жеке тұлғалар үшін "тарану уақыты" 1-ге бекітілген. Үздіксіз уақыт тармақталу процестерінде, әрбір жеке тұлға кездейсоқ уақыт күтеді (бұл үздіксіз кездейсоқ шама), содан кейін берілген таралым бойынша бөлінеді. Әртүрлі жеке тұлғалардың күту уақыты тәуелсіз, сондай-ақ балалар санынан да тәуелсіз. Жалпы алғанда, күту уақыты барлық жеке тұлғалар үшін λ параметрімен экспоненциалды шама болып табылады, осылайша процесс Марковтық болады.
Өлшеміне байланысты тармақтану процестері
Гримметтің жасқа тәуелді тармақтану процестері деп аталатын, адамдар бір ұрпақтан астам өмір сүретін тармақтану процестерінің жалпы моделін талқылаумен қатар, Кришна Атрея жалпы қолданылатын өлшемге тәуелді тармақтану процестері арасындағы үш ерекшелікті анықтады. Атрея өлшемге тәуелді тармақтану процестерінің үш класын – субкритикалық, тұрақты және суперкритикалық тармақтану шаралары ретінде бөліп көрсетеді. Атрея үшін, субкритикалық және суперкритикалық тұрақсыз тармақтануды болдырмау үшін орталық параметрлер маңызды рөл атқарады. Өлшемге тәуелді тармақтану процестері ресурсқа тәуелді тармақтану процестері тақырыбында да қарастырылады.
Өлу проблемасының мысалы
Бір ата-ана ең көп екі бала тудыра алады. Әр ұрпақтағы жойылу ықтималдығы:
d0 = 0-мен беріледі. Толық жойылу ықтималдығын табу үшін d = p0 + p1d + p2d2 теңдеуін қанағаттандыратын d-ны анықтау қажет. Балалар санының ықтималдықтарын мысал ретінде қарастыратын болсақ, p0 = 0.1, p1 = 0.6 және p2 = 0.3, алғашқы 20 ұрпақтың жойылу ықтималдығы келесідей:
Ұрпақ # (1–10) Жойылу ықтималдығы Ұрпақ # (11–20) Жойылу ықтималдығы
1 0.1 11 0.3156
2 0.163 12 0.3192
3 0.2058 13 0.3221
4 0.2362 14 0.3244
5 0.2584 15 0.3262
6 0.2751 16 0.3276
7 0.2878 17 0.3288
8 0.2975 18 0.3297
9 0.3051 19 0.3304
10 0.3109 20 0.331
Бұл мысалда, d = 1/3 екенін алгебралық жолмен шеше аламыз, және жойылу ықтималдығы ұрпақтар саны артқан сайын осы мәнге жуықтайды.
Бөліну процестерін симуляциялау
Тармақтану процестерін түрлі мәселелер үшін модельдеуге болады. Модельделген тармақтану процесінің нақты бір қолданылуы эволюциялық биология саласында. Мысалы, филогенетикалық ағаштар бірнеше модельдер негізінде симуляциялануы мүмкін, бұл бағалау әдістерін жасауға және тексеруге, сондай-ақ гипотезаларды растауға көмектеседі.
Көп типті тармақтану процестері
Көп типті тармақтану процестерінде жеке адамдар бір-бірінен өзгеше, оларды n типке жіктеуге болады. Әр уақыт қадамынан кейін i типіндегі жеке тұлға әртүрлі типтегі жеке тұлғаларды тудырады, ал әртүрлі типтегі балалардың санын көрсететін кездейсоқ вектор белгілі бір ықтималдық үлестіріміне бағынады. Мысалы, қатерлі ісік тамырлық жасушалары (CSC) және тамырлық емес қатерлі ісік жасушалары (NSCC) популяциясын қарастырайық. Әр уақыт аралығында әрбір CSC екі CSC (симметриялық бөліну) тудыру ықтималдығына ие, бір CSC және бір NSCC (асимметриялық бөліну) тудыру ықтималдығына ие, бір CSC (тоқтау) тудыру ықтималдығына ие және ештеңе тудырмау ықтималдығына ие (өлім); әрбір NSCC екі NSCC (симметриялық бөліну) тудыру ықтималдығына ие, бір NSCC (тоқтау) тудыру ықтималдығына ие және ештеңе тудырмау ықтималдығына ие (өлім).
For example, consider the population of cancer stem cells (CSCs) and non stem cancer cells (NSCCs). After each time interval, each CSC has probability to produce two CSCs (symmetric division), probability to produce one CSC and one NSCC (asymmetric division), probability to produce one CSC (stagnation), and probability to produce nothing (death); each NSCC has probability to produce two NSCCs (symmetric division), probability to produce one NSCC (stagnation), and probability to produce nothing (death).
Көп типті тармақтану процестері үшін үлкен сандар заңы
Көп типті тармақтану процестерінде әртүрлі типтердің популяциялары экспоненциалды өседі, ал кейбір жұмсақ шарттар орындалғанда әртүрлі типтердің үлестері дерлік нақты түрде тұрақты векторға жақындайды. Бұл көп типті тармақтану процестері үшін үлкен сандардың күшті заңы. Үзіліссіз уақыт жағдайларында халықтың күтілетін үлестері бірегей тартымды тұрақты нүктесі бар дифференциалдық теңдеулер жүйесін қанағаттандырады. Осы тұрақты нүкте – үлкен сандар заңы бойынша үлестердің жақындасатын векторы. Атрея мен Нейдің монографиясы осы үлкен сандар заңының қолданылуына қатысты жиі кездесетін шарттар жиынтығын қамтиды. Кейіннен түрлі шарттарды алып тастау арқылы одан да жақсартулар енгізілді.
Басқа тармақталу процестері
Басқа да көптеген тармақтану процестері бар, мысалы, кездейсоқ ортадағы тармақтану процестері, онда әр ұрпақта көбейту заңы кездейсоқ түрде таңдалады, немесе халықтың өсуі сыртқы факторлармен немесе өзара әрекеттесетін процестермен реттелетін тармақтану процестері. Бөлікшелердің көбейю үшін жұмыс істеуі (қоршаған ортаға ресурстарды жұмсауы) және ресурстарды бөлуді бақылайтын өзгеріп отыратын әлеуметтік құрылымда өмір сүруі қажетті тармақтану процестері ресурсқа тәуелді тармақтану процестері деп аталады. Критикалық деңгейге жақын тармақтану процестерінің масштабтау лимиті суперпроцестерді алу үшін қолданылуы мүмкін.
and live in a changing society structure controlling the distribution of resources, are so called resource dependent branching processes. The scaling limit of near critical branching processes can be used to obtain superprocesses.