Введение

Вид стохастического процесса, процесс в теории представлений. В теории вероятностей, разветвлённый процесс — это тип математического объекта, известного как стохастический процесс, который состоит из совокупности случайных величин, индексированных некоторым множеством, обычно натуральными или неотрицательными вещественными числами. Изначальной целью процессов разветвления было служить математической моделью популяции, в которой каждый индивид в поколении производит некоторое случайное число индивидов в следующем поколении, в соответствии, в простейшем случае, с фиксированным распределением вероятностей, которое не меняется от индивида к индивиду. Процессы разветвления используются для моделирования воспроизводства; например, индивидуумы могут соответствовать бактериям, каждый из которых производит 0, 1 или 2 потомка с определённой вероятностью за единицу времени. Процессы разветвления также могут использоваться для моделирования других систем с аналогичной динамикой, например, распространение фамилий в генеалогии или распространение нейтронов в ядерном реакторе. Центральным вопросом в теории процессов разветвления является вероятность окончательного вымирания, то есть ситуации, когда после конечного числа поколений не остаётся ни одного индивида. Используя уравнение Вальда, можно показать, что, начиная с одного индивида в нулевом поколении, математическое ожидание размера n-го поколения равно μn, где μ — математическое ожидание числа потомков каждого индивида. Если μ < 1, то математическое ожидание числа индивидов быстро стремится к нулю, что подразумевает окончательное вымирание с вероятностью 1 согласно неравенству Маркова. В противном случае, если μ > 1, то вероятность окончательного вымирания меньше 1 (но не обязательно равна нулю; рассмотрим процесс, в котором у каждого индивида либо 0, либо 100 детей с равной вероятностью. В этом случае μ = 50, но вероятность окончательного вымирания больше 0,5, поскольку такова вероятность того, что у первого индивида не будет потомков). Если μ = 1, то окончательное вымирание происходит с вероятностью 1, если только каждый индивид всегда имеет ровно одного ребёнка. В теоретической экологии параметр μ процесса разветвления называется базовым коэффициентом размножения.

Математическая формулировка

Наиболее распространенной формулировкой процесса ветвления является процесс Гальтона — Уотсона. Пусть Zn обозначает состояние в период n (часто интерпретируемое как размер популяции в поколении n), и пусть Xn,i — случайная величина, обозначающая число прямых потомков индивида i в период n, где Xn,i — независимые и одинаково распределенные случайные величины для всех n ∈ {0, 1, 2, …} и i ∈ {1, 2, …, Zn}. Тогда рекуррентное соотношение имеет вид:

при Z0 = 1. Альтернативно, процесс ветвления можно сформулировать как случайное блуждание. Пусть Si обозначает состояние в период i, и пусть Xi — случайная величина, независимая и одинаково распределенная для всех i. Тогда рекуррентное соотношение имеет вид:

при S0 = 1. Чтобы получить интуитивное представление об этой формулировке, представьте себе блуждание, целью которого является посещение каждого узла, но каждый раз, когда посещается ранее не посещенный узел, обнаруживаются дополнительные узлы, которые также необходимо посетить. Пусть Si представляет количество обнаруженных, но не посещенных узлов в период i, и пусть Xi представляет количество новых узлов, которые обнаруживаются при посещении узла i. Тогда в каждом периоде число обнаруженных, но не посещенных узлов равно числу таких узлов в предыдущем периоде, плюс новые узлы, которые обнаруживаются при посещении узла, минус посещенный узел. Процесс завершается, когда все обнаруженные узлы будут посещены.

Процессы непрерывного разветвления

Для процессов разветвления с дискретным временем, "время разветвления" фиксировано и равно 1 для всех индивидуумов. Для процессов разветвления с непрерывным временем каждый индивидуум ждет случайный промежуток времени (являющийся непрерывной случайной величиной), после чего делится согласно заданному распределению. Промежутки времени ожидания для разных индивидуумов независимы друг от друга и не зависят от числа потомков. Как правило, время ожидания является экспоненциальной случайной величиной с параметром λ для всех индивидуумов, что обеспечивает марковское свойство процесса.

Процессы разветвления, зависящие от размера

Наряду с обсуждением более общей модели процессов ветвления, известной как процессы ветвления с учетом возраста, предложенной Гримметтом, в которых индивидуумы живут более одного поколения, Кришна Атрея выделил три различия между процессами ветвления, зависящими от размера, которые имеют широкое применение. Атрея определяет три класса процессов ветвления, зависящих от размера, как подкритические, стабильные и сверхкритические меры ветвления. Для Атреи центральные параметры имеют решающее значение для предотвращения подкритического и сверхкритического неустойчивого ветвления. Процессы ветвления, зависящие от размера, также рассматриваются в контексте процессов ветвления, зависящих от ресурсов.

Пример проблемы вымирания

Рассмотрим, что родитель может произвести не более двух потомков. Вероятность вымирания в каждом поколении:

с d0 = 0. Для конечной вероятности вымирания нам нужно найти d, удовлетворяющее уравнению d = p0 + p1d + p2d2. В качестве примера возьмем вероятности для числа произведенных потомков: p0 = 0.1, p1 = 0.6 и p2 = 0.3. Вероятность вымирания для первых 20 поколений представлена ниже:

Поколение № (1–10) Вероятность вымирания Поколение № (11–20) Вероятность вымирания
1 0.1 11 0.3156
2 0.163 12 0.3192
3 0.2058 13 0.3221
4 0.2362 14 0.3244
5 0.2584 15 0.3262
6 0.2751 16 0.3276
7 0.2878 17 0.3288
8 0.2975 18 0.3297
9 0.3051 19 0.3304
10 0.3109 20 0.331

В этом примере мы можем алгебраически найти, что d = 1/3, и именно к этому значению сходится вероятность вымирания с увеличением числа поколений.

Симуляция процессов разветвления

Процессы ветвления могут быть смоделированы для широкого круга задач. Одно из конкретных применений моделирования процессов ветвления – область эволюционной биологии. Например, филогенетические деревья можно моделировать, используя различные модели, что помогает разрабатывать и проверять методы оценки, а также обосновывать проверку гипотез.

Процессы многотипного разветвления

В многотиповых процессах ветвления особи не идентичны, но могут быть классифицированы по n типам. После каждого временного шага особь типа i производит особей различных типов, и , случайный вектор, представляющий число потомков разных типов, подчиняется распределению вероятностей на . Например, рассмотрим популяцию раковых стволовых клеток (CSC) и нестволовых раковых клеток (NSCC). После каждого временного интервала у каждой CSC есть вероятность произвести две CSC (симметричное деление), вероятность произвести одну CSC и одну NSCC (асимметричное деление), вероятность произвести одну CSC (стагнация) и вероятность не произвести потомков (гибель); каждая NSCC имеет вероятность произвести две NSCC (симметричное деление), вероятность произвести одну NSCC (стагнация) и вероятность не произвести потомков (гибель).

Закон больших чисел для многотиповых процессов разветвления

Для многотиповых процессов ветвления, в которых популяции различных типов растут экспоненциально, при некоторых достаточно мягких условиях пропорции различных типов почти достоверно сходятся к постоянному вектору. Это сильный закон больших чисел для многотиповых процессов ветвления. В случае непрерывного времени пропорции математического ожидания популяции удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которая имеет единственную привлекающую неподвижную точку. Эта неподвижная точка и является вектором, к которому сходятся пропорции согласно закону больших чисел. Монография Атрейи и Нея суммирует общий набор условий, при которых справедлив этот закон больших чисел. Впоследствии были достигнуты некоторые улучшения за счет отбрасывания отдельных условий.

Прочие процессы разветвления

Существует множество других процессов ветвления, например, процессы ветвления в случайных средах, в которых закон воспроизводства выбирается случайным образом в каждом поколении, или процессы ветвления, где рост популяции контролируется внешними воздействиями или взаимодействующими процессами. Процессы ветвления, в которых частицы должны трудиться (вносить ресурсы в окружающую среду), чтобы иметь возможность размножаться и существовать в изменяющейся социальной структуре, контролирующей распределение ресурсов, называются процессами ветвления, зависимыми от ресурсов. Предельный переход при масштабировании почти критических процессов ветвления может быть использован для получения суперпроцессов.