Стоун дуалдығы: Топологиялық кеңістіктер мен реттік жиындар арасындағы байланыс
Stone duality
Стоун дуалдығы: топологиялық кеңістіктер мен ішінара реттелген жиынтар арасындағы математикалық дуалдық. Бульдік алгебра, нүктесіз топология, формальды семантика.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, белгілі бір топологиялық кеңістіктер санаттары мен ішінара реттелген жиынтықтар санаттары арасында категориалық дуалдықтардың көптеген мысалдары бар. Бүгінде, бұл дуалдықтар көбінесе Стоун дуалдығы деп аталады, себебі олар Буль алгебралары үшін Стоунның өкілдік теоремасының табиғи жалпыламасын құрайды. Бұл ұғымдар Маршалл Стоунның құрметіне аталған. Стоун типтес дуалдықтар да мәнсіз топологияның негізін қалайды және формальды семантиканы зерттеу үшін теориялық информатикада қолданылады. Осы мақалада Стоун дуалдығының нақты жағдайларына сілтемелер берілген және оның өте жалпы мысалы егжей-тегжейлі қарастырылған.
In mathematics, there is an ample supply of categorical dualities between certain categories of topological spaces and categories of partially ordered sets. Today, these dualities are usually collected under the label Stone duality, since they form a natural generalization of Stone's representation theorem for Boolean algebras. These concepts are named in honor of Marshall Stone. Stone type dualities also provide the foundation for pointless topology and are exploited in theoretical computer science for the study of formal semantics. This article gives pointers to special cases of Stone duality and explains a very general instance thereof in detail.
Ашық жиынтықтардың торшасы
Теорияның бастапқы нүктесі – әрбір топологиялық кеңістік X нүктелер жиынымен және X элементтерінің ашық жиындар жүйесі Ω(X) арқылы сипатталады, яғни X-тің қуат жиынының ішкі жиыны. Ω(X)-тың белгілі бір ерекше қасиеттері бар екені мәлім: ол толық тор, онда жоғарғы және шекті инфимумдар жиынтық бірінділерімен және шекті жиынтық қиылыстарымен беріледі. Сонымен қатар, ол X және бос жиынды қамтиды. Ω(X)-ты X-тың қуат жиыны торына енгізу шекті инфимумдарды және кез келген жоғарғыларды сақтайды, сондықтан Ω(X) келесі таралу заңын мұралайды:
The starting point for the theory is the fact that every topological space is characterized by a set of points X and a system Ω(X) of open sets of elements from X, i. e. a subset of the powerset of X. It is known that Ω(X) has certain special properties: it is a complete lattice within which suprema and finite infima are given by set unions and finite set intersections, respectively. Furthermore, it contains both X and the empty set. Since the embedding of Ω(X) into the powerset lattice of X preserves finite infima and arbitrary suprema, Ω(X) inherits the following distributivity law:
әрбір элемент (ашық жиын) x және Ω(X)-тың кез келген ішкі жиыны S үшін. Осылайша, Ω(X) – кездейсоқ толық тор емес, толық Хейтинг алгебрасы (фрейм немесе локаль деп те аталады – әртүрлі атаулар негізінен бірдей объектілер класына ие, бірақ әртүрлі морфизмдері бар бірнеше санаттарды ажырату үшін қолданылады: фрейм морфизмдері, локаль морфизмдері және толық Хейтинг алгебраларының гомоморфизмдері). Енді туындайтын сұрақ: топологиялық кеңістік ашық жиындардың локалі арқылы қаншалықты сипатталады? Жоғарыда айтылғандай, одан да әрі жүруге болады. Топологиялық кеңістіктердің Top санаты морфизмдер ретінде үздіксіз функцияларды қолданады, мұнда f функциясы үздіксіз болады, егер f кодоменындағы кез келген ашық жиынның f⁻¹(O) кері бейнесі f доменында ашық болса. Осылайша, кез келген үздіксіз f функциясы X кеңістігінен Y кеңістігіне f⁻¹ кері бейнелеуін Ω(Y)-ден Ω(X)-қа дейін анықтайды. Бұдан әрі, f⁻¹ (кез келген кері бейнелеу сияқты) шекті қиылыстарды және кез келген бірінділерді сақтайтынын және демек, фреймдердің морфизмі екенін тексеру оңай. Егер Ω(f) = f⁻¹ деп анықтасақ, онда Ω – Top санатынан Frm санатына дейінгі ковариантты функтор болады (фреймдер және фрейм морфизмдері). Категориялық құралдарды қолдану арқылы топологиялық кеңістіктерді олардың ашық жиын торлары арқылы сипаттау мәселесі Ω-ға қосымша Frm-нен Top-қа дейінгі функторды табуға тең.
for every element (open set) x and every subset S of Ω(X). Hence Ω(X) is not an arbitrary complete lattice but a complete Heyting algebra (also called frame or locale – the various names are primarily used to distinguish several categories that have the same class of objects but different morphisms: frame morphisms, locale morphisms and homomorphisms of complete Heyting algebras). Now an obvious question is: To what extent is a topological space characterized by its locale of open sets? As already hinted at above, one can go even further. The category Top of topological spaces has as morphisms the continuous functions, where a function f is continuous if the inverse image f −1(O) of any open set in the codomain of f is open in the domain of f. Thus any continuous function f from a space X to a space Y defines an inverse mapping f −1 from Ω(Y) to Ω(X). Furthermore, it is easy to check that f −1 (like any inverse image map) preserves finite intersections and arbitrary unions and therefore is a morphism of frames. If we define Ω(f) = f −1 then Ω becomes a contravariant functor from the category Top to the category Frm of frames and frame morphisms. Using the tools of category theory, the task of finding a characterization of topological spaces in terms of their open set lattices is equivalent to finding a functor from Frm to Top which is adjoint to Ω.
Топ пен Лок қосылысы
Бұрын да бірнеше рет айтылғандай, pt және Ω көбінесе кері шамалар емес. Жалпы, X, pt(Ω(X))-қа гомеоморфты емес, ал L, Ω(pt(L))-ға изоморфты емес. Дегенмен, жоғарыда pt(L) топологиясын енгізген кезде, L-ден Ω(pt(L))-ға дейінгі φ бейнелеуі қолданылды. Бұл бейнелеу шын мәнінде кадрлық морфизм болып табылады. Керісінше, ψ(x) = Ω(px) деп белгілеп, X-тен pt(Ω(X))-қа үздіксіз ψ функциясын анықтай аламыз, мұнда px – жоғарыда сипатталғандай, x нүктесінің сипаттамалық функциясы. Тағы бір ыңғайлы сипаттама – жергілікті кеңістіктің нүктелерін ең төменгі негізгі элементтер ретінде қарастыру. Осы жағдайда, ψ(x) = X \ Cl{x}, мұнда Cl{x} – {x} жиынының топологиялық жабылуын білдіреді, ал \ – жиындардың айырмасы. Осы сәтте, бізде қажетті нәтижеге жету үшін жеткілікті мәлімет бар: Ω және pt функторлары Top және Loc = Frmop санаттары арасындағы қосымшалықты анықтайды, мұнда pt, Ω-ға оңнан қосымша, ал ψ және φop табиғи түрлендірулері тиісінше қажетті бірлік пен коунитті қамтамасыз етеді.
As noted several times before, pt and Ω usually are not inverses. In general neither is X homeomorphic to pt(Ω(X)) nor is L order isomorphic to Ω(pt(L)). However, when introducing the topology of pt(L) above, a mapping φ from L to Ω(pt(L)) was applied. This mapping is indeed a frame morphism. Conversely, we can define a continuous function ψ from X to pt(Ω(X)) by setting ψ(x) = Ω(px), where px is just the characteristic function for the point x from 1 to X as described above. Another convenient description is given by viewing points of a locale as meet prime elements. In this case we have ψ(x) = X \ Cl{x}, where Cl{x} denotes the topological closure of the set {x} and \ is just set difference. At this point we already have more than enough data to obtain the desired result: the functors Ω and pt define an adjunction between the categories Top and Loc = Frmop, where pt is right adjoint to Ω and the natural transformations ψ and φop provide the required unit and counit, respectively.
Дуальдық теорема
Жоғарыда келтірілген қосымша Top және Loc санаттарының теңдестігі емес (немесе, эквивалентті түрде, Top және Frm санаттарының дуалдығы). Ол үшін ψ және φ екеуі де сәйкес санаттарында изоморфизмдер болуы керек. X кеңістігі үшін ψ: X → pt(Ω(X)) гомеоморфизм болып табылады, егер және тек егер ол биективті болса. Ашық жиынтардың meet prime элементтері арқылы берілген сипаттаманы қолданып, мұндай жағдай тек қана егер әрбір meet prime ашық жиынтық бірегей x үшін X \ Cl{x} түрінде болса ғана орын алатынын көреміз. Мұндай қасиетке ие кеңістіктер адал деп аталады. Керісінше, L локалі үшін φ: L → Ω(pt(L)) әрқашан сюръективті болады. Ол қосымша инъективті, егер және тек егер L-дің кез келген екі элементі a және b үшін, егер a ≤ b болмаса, оларды локальдің нүктелерімен ажыратуға болады, яғни:
The above adjunction is not an equivalence of the categories Top and Loc (or, equivalently, a duality of Top and Frm). For this it is necessary that both ψ and φ are isomorphisms in their respective categories. For a space X, ψ: X → pt(Ω(X)) is a homeomorphism if and only if it is bijective. Using the characterization via meet prime elements of the open set lattice, one sees that this is the case if and only if every meet prime open set is of the form X \ Cl{x} for a unique x. Alternatively, every join prime closed set is the closure of a unique point, where "join prime" can be replaced by (join ) irreducible since we are in a distributive lattice. Spaces with this property are called sober. Conversely, for a locale L, φ: L → Ω(pt(L)) is always surjective. It is additionally injective if and only if any two elements a and b of L for which a is not less or equal to b can be separated by points of the locale, formally:
егер a ≤ b болмаса, онда pt(L) ішінде p нүктесі бар, онда p(a) = 1 және p(b) = 0. Егер бұл шарт локальдің барлық элементтері үшін орындалса, онда локаль кеңістіктік болады немесе жеткілікті нүктелері бар деп айтылады. (Сонымен қатар, қараңыз, жақсы бағытталған санат, себебі ол жалпы санаттардағы ұқсас шарттарды қамтиды.) Соңында, әрбір X кеңістігі үшін Ω(X) кеңістіктік екенін, ал әрбір L локалі үшін pt(L) адал екенін тексеруге болады. Осыдан келіп, жоғарыдағы Top және Loc қосымшасы адал кеңістіктердің толық субкатегориясы Sob және кеңістіктік локальдердің толық субкатегориясы SLoc арасындағы теңдестікке дейін қысқартылады. Бұл негізгі нәтиже pt ∘ Ω функторымен толықтырылады, ол әрбір кеңістікті оның ашық жиынтар торларының нүктелеріне жібереді және бұл функтор Sob-тан Top-қа дейінгі кіріктіру функторына сол жақтан қосымша болады. X кеңістігі үшін pt(Ω(X)) оның себерленуі деп аталады. Ω ∘ pt функторының жағдайы симметриялық, бірақ бұл операция үшін арнайы атау кеңінен қолданылмайды.
if not a ≤ b, then there is a point p in pt(L) such that p(a) = 1 and p(b) = 0. If this condition is satisfied for all elements of the locale, then the locale is spatial, or said to have enough points. (See also well pointed category for a similar condition in more general categories.) Finally, one can verify that for every space X, Ω(X) is spatial and for every locale L, pt(L) is sober. Hence, it follows that the above adjunction of Top and Loc restricts to an equivalence of the full subcategories Sob of sober spaces and SLoc of spatial locales. This main result is completed by the observation that for the functor pt o Ω, sending each space to the points of its open set lattice is left adjoint to the inclusion functor from Sob to Top. For a space X, pt(Ω(X)) is called its soberification. The case of the functor Ω o pt is symmetric but a special name for this operation is not commonly used.