Введение

В математике существует множество категориальных двойственностей между определенными категориями топологических пространств и категориями частично упорядоченных множеств. В настоящее время эти двойственности обычно объединяют под названием двойственности Стоуна, поскольку они представляют собой естественное обобщение теоремы представления Стоуна для булевых алгебр. Эти понятия названы в честь Маршалла Стоуна. Двойственности стоуновского типа также служат основой для бесточечной топологии и используются в теоретической информатике для изучения формальной семантики. В данной статье приводятся ссылки на частные случаи двойственности Стоуна и подробно рассматривается один очень общий пример.

Сетка открытых множеств

Отправной точкой теории является тот факт, что каждое топологическое пространство характеризуется множеством точек X и системой Ω(X) открытых множеств элементов из X, то есть подмножеством множества степеней X. Известно, что Ω(X) обладает определенными свойствами: это полная решетка, в которой супремумы и конечные инфимумы задаются объединениями множеств и пересечениями конечных множеств соответственно. Кроме того, она содержит как X, так и пустое множество. Поскольку вложение Ω(X) в решетку степеней множества X сохраняет конечные инфимумы и произвольные супремумы, Ω(X) наследует следующий закон дистрибутивности: для каждого элемента (открытого множества) x и каждого подмножества S из Ω(X). Следовательно, Ω(X) – это не произвольная полная решетка, а полная алгебра Гейтинга (также называемая фреймом или локалью – различные названия используются главным образом для различения нескольких категорий, которые имеют один и тот же класс объектов, но разные морфизмы: морфизмы фреймов, морфизмы локалей и гомоморфизмы полных алгебр Гейтинга). Теперь возникает очевидный вопрос: в какой степени топологическое пространство характеризуется своей локалью открытых множеств? Как уже упоминалось выше, можно пойти еще дальше. Категория Top топологических пространств имеет в качестве морфизмов непрерывные функции, где функция f является непрерывной, если прообраз f⁻¹(O) любого открытого множества в кообласти f открыт в области f. Таким образом, любая непрерывная функция f из пространства X в пространство Y определяет обратное отображение f⁻¹ из Ω(Y) в Ω(X). Кроме того, легко проверить, что f⁻¹ (как и любое отображение прообраза) сохраняет конечные пересечения и произвольные объединения и, следовательно, является морфизмом фрейма. Если мы определим Ω(f) = f⁻¹, то Ω становится контравариантным функтором из категории Top в категорию Frm фреймов и морфизмов фреймов. Используя инструменты теории категорий, задача нахождения характеризации топологических пространств в терминах их решеток открытых множеств эквивалентна нахождению функтора из Frm в Top, который является сопряженным к Ω.

Присоединение Топа и Лока

Как уже отмечалось несколько раз, pt и Ω обычно не являются обратными друг другу. В общем случае, ни X не гомеоморфно pt(Ω(X)), ни L не изоморфно Ω(pt(L)). Однако, при введении топологии pt(L) выше, было применено отображение φ из L в Ω(pt(L)). Это отображение действительно является морфизмом кадров. Обратно, мы можем определить непрерывную функцию ψ из X в pt(Ω(X)), задав ψ(x) = Ω(px), где px – это просто характеристическая функция точки x из X, как описано выше. Другое удобное описание получается, рассматривая точки локали как элементы встречи простых идеалов. В этом случае ψ(x) = X \ Cl{x}, где Cl{x} обозначает топологическую оболочку множества {x}, а \ – это операция разности множеств. К настоящему моменту у нас уже достаточно данных для получения желаемого результата: функторы Ω и pt определяют сопряжение между категориями Top и Loc = Frmop, где pt является правым сопряженным к Ω, а естественные преобразования ψ и φop обеспечивают необходимую единицу и коединицу соответственно.

Теорема двойственности

Вышеуказанное сопряжение не является эквивалентностью категорий Top и Loc (или, эквивалентно, двойственностью Top и Frm). Для этого необходимо, чтобы и ψ, и φ были изоморфизмами в своих соответствующих категориях. Для пространства X, ψ: X → pt(Ω(X)) является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно биективно. Используя характеризацию через meet-простые элементы решетки открытых множеств, можно увидеть, что это имеет место тогда и только тогда, когда каждое meet-простое открытое множество имеет вид X \ Cl{x} для единственного x. Альтернативно, каждое join-простое замкнутое множество является замыканием единственной точки, где "join-простое" можно заменить на (join)-неприводимое, поскольку мы имеем дело с дистрибутивной решеткой. Пространства с этим свойством называются трезвыми. И наоборот, для локали L, φ: L → Ω(pt(L)) всегда сюръективно. Оно дополнительно инъективно тогда и только тогда, когда любые два элемента a и b из L, для которых a не меньше или равно b, могут быть разделены точками локали, формально:

если не a ≤ b, то существует точка p в pt(L) такая, что p(a) = 1 и p(b) = 0. Если это условие выполнено для всех элементов локали, то локаль пространственна, или говорят, что она имеет достаточно точек. (См. также хорошо-определённую категорию для аналогичного условия в более общих категориях.) Наконец, можно проверить, что для каждого пространства X, Ω(X) пространственно, а для каждой локали L, pt(L) трезвое. Следовательно, вышеуказанное сопряжение Top и Loc ограничивается эквивалентностью полных подкатегорий Sob трезвых пространств и SLoc пространственных локалей. Этот основной результат дополняется наблюдением, что для функтора pt ∘ Ω, отображающего каждое пространство в точки его решетки открытых множеств, является левым сопряженным к функтору включения из Sob в Top. Для пространства X, pt(Ω(X)) называется его соберификацией. Случай функтора Ω ∘ pt симметричен, но специального названия для этой операции обычно не используется.