Топтар теориясындағы проективтік сызықтық топтар

Кіріспе

Топтар теориясындағы құрылыс. Математикада, әсіресе алгебраның топтық теориялық саласында, проективті сызықтық топ (сонымен қатар проективті жалпы сызықтық топ немесе PGL деп аталады) – векторлық кеңістік V-нің жалпы сызықтық тобының P(V) проективті кеңістігіне әсер етуі. Нақты айтқанда, проективті сызықтық топ – бұл PGL(V) = GL(V) / Z(V) quotient тобы, мұнда GL(V) – V-нің жалпы сызықтық тобы және Z(V) – V-нің барлық нөлден өзгеше скалярлық түрлендірулерінің кіші тобы; олар проективті кеңістікте тривиальды әрекет ететіндіктен және олар әрекеттің ядросын құрайды, ал "Z" белгісі скалярлық түрлендірулер жалпы сызықтық топтың орталығын құрайтынын көрсетеді. Проективті арнайы сызықтық топ, PSL, ұқсас түрде, арнайы сызықтық топтың байланысты проективті кеңістіктегі әсері ретінде анықталады. Нақты айтқанда: PSL(V) = SL(V) / SZ(V), мұнда SL(V) – V бойынша арнайы сызықтық топ және SZ(V) – бірлік детерминанты бар скалярлық түрлендірулердің кіші тобы. Мұнда SZ – SL орталығы және F-тегі бірліктің n-ші түбірлері тобымен табиғи түрде сәйкестендіріледі (мұнда n – V өлшемі және F – базалық өріс). PGL және PSL зерттеудің негізгі топтарының бірі, классикалық топтардың бөлігі, ал PGL элементі проективті сызықтық түрлендіру, проективті түрлендіру немесе гомография деп аталады. Егер V – F өрісі бойынша n өлшемді векторлық кеңістік болса, атап айтқанда V = Fn, онда PGL(n, F) және PSL(n, F) деген баламалы белгілер де қолданылады. PGL(n, F) және PSL(n, F) изоморфты, егер F-тің әрбір элементінің F-те n-ші түбірі болса ғана. Мысал ретінде, PGL(2, C) = PSL(2, C), бірақ PGL(2, R) > PSL(2, R); бұл нақты проективті түзудің бағытталғандығына сәйкес келеді, ал проективті арнайы сызықтық топ тек бағытты сақтаушы түрлендірулер болып табылады. PGL және PSL сақинада да анықталуы мүмкін, маңызды мысал – модульдік топ, яғни PSL(2, Z).

Атауы

Атауы проективті геометриядан шыққан, онда гомогенді координаталарға (x0 : x1 : … : xn) әрекет ететін проективті топ геометрияның негізгі тобы болып табылады. Басқаша айтқанда, GL(V)-тің V-ге табиғи әсері PGL(V)-тің проективті кеңістік P(V)-ге әсер етуіне келеді. Сондықтан проективті сызықтық топтар Мёбиус түрлендірулерінің (кейде Мёбиус тобы деп аталады) PGL(2, C) жағдайын жалпылайды, ол проективті түзуге әсер етеді. Жалпы сызықтық топтан айырмашылығы, ол әдетте "сызықтық (векторлық кеңістіктің) құрылымын сақтайтын инверттік функциялар" ретінде аксиоматикалық түрде анықталады, проективті сызықтық топ конструктивті түрде анықталады, яғни байланысты векторлық кеңістіктің жалпы сызықтық тобының бөлігі ретінде, "проективті сызықтық құрылымды сақтайтын инверттік функциялар" ретінде емес. Бұл нотацияда көрінеді: PGL(n, F) – GL(n, F)-ге байланысты топ, және (n-1) өлшемді проективті кеңістіктің проективті сызықтық тобы, n өлшемді проективті кеңістіктің емес.

Құрастыру

Байланысты топ – аксиоматикалық түрде анықталатын коллинеациялық топ. Коллинеация – коллинеар нүктелерді коллинеар нүктелерге жіберетін инверттік (немесе жалпы алғанда, біржақты) түрлендіру. Проективті кеңістікті аксиоматикалық түрде, белгілі бір аксиомаларды қанағаттандыратын инциденттік құрылым (P нүктелерінің жиынтығы, L түзулері және I инциденттік қатынас, қай нүктелердің қай түзулерде жатқанын анықтайды) түрінде анықтауға болады. Осылайша анықталған проективті кеңістіктің автоморфизмі – нүктелер жиынтығының автоморфизмі f және түзулер жиынтығының автоморфизмі g болып табылады, бұл инциденттік қатынасты сақтайды, яғни кеңістіктің өзіне коллинеациясы. Проективті сызықтық түрлендірулер – коллинеациялар (векторлық кеңістіктегі жазықтықтар проективті кеңістіктегі түзулерге сәйкес келеді, ал сызықтық түрлендірулер жазықтықтарды жазықтықтарға жібереді, сондықтан проективті сызықтық түрлендірулер түзулерді түзулерге жібереді), бірақ жалпы жағдайда барлық коллинеациялар проективті сызықтық түрлендірулер емес. PGL – көбінесе коллинеациялық топтың нақты кіші тобы. Атап айтқанда, егер n=2 (проективті түзу) болса, барлық нүктелер коллинеар болады, сондықтан коллинеациялық топ – проективті түзу нүктелерінің симметриялық тобына тең. F2 және F3-тен (мұнда PGL толық симметриялық топ) басқа, PGL осы нүктелердегі толық симметриялық топтың нақты кіші тобы болып табылады. n ≥ 3 болғанда, коллинеациялық топ – проективті жартылай сызықтық топ, PΓL. Бұл PGL, өрістің автоморфизмдерімен бұралған; формальды түрде , мұнда k – K үшін жай өріс; бұл проективті геометрияның негізгі теоремасы. Осылайша, егер K жай өріс (Fp немесе Q) болса, онда PGL = PΓL, бірақ егер K тривиальды емес Галуа автоморфизмдері бар өріс болса (мысалы, Fpn, n ≥ 2 немесе C), проективті сызықтық топ – коллинеациялық топтың нақты кіші тобы, оны «проективті жартылай сызықтық құрылымды сақтайтын түрлендірулер» деп қарастыруға болады. Сәйкесінше, үлестік топ «сызықтық құрылымның таңдауларына» сәйкес келеді, ал бірлік элемент (бастапқы нүкте) – қолданыстағы сызықтық құрылым. Сондай-ақ, проективті сызықтық түрлендірудің табиғи түсінігі жоқ проективті кеңістіктер үшін де коллинеациялық топтарды анықтауға болады. Дегенмен, Дезарг емес жазықтықтардан басқа, барлық проективті кеңістіктер – бөліну сақинасы арқылы сызықтық кеңістіктің проективтенуі болып табылады, бірақ жоғарыда айтқанымыздай, сызықтық құрылымның бірнеше таңдауы бар, атап айтқанда, Gal(K/k) бойынша торсор (n ≥ 3 үшін).

A related group is the collineation group, which is defined axiomatically. A collineation is an invertible (or more generally one to one) map which sends collinear points to collinear points. One can define a projective space axiomatically in terms of an incidence structure (a set of points P, lines L, and an incidence relation I specifying which points lie on which lines) satisfying certain axioms – an automorphism of a projective space thus defined then being an automorphism f of the set of points and an automorphism g of the set of lines, preserving the incidence relation, which is exactly a collineation of a space to itself. Projective linear transforms are collineations (planes in a vector space correspond to lines in the associated projective space, and linear transforms map planes to planes, so projective linear transforms map lines to lines), but in general not all collineations are projective linear transforms – PGL is in general a proper subgroup of the collineation group. Specifically, for 1=n = 2 (a projective line), all points are collinear, so the collineation group is exactly the symmetric group of the points of the projective line, and except for F2 and F3 (where PGL is the full symmetric group), PGL is a proper subgroup of the full symmetric group on these points. For n ≥ 3, the collineation group is the projective semilinear group, PΓL – this is PGL, twisted by field automorphisms; formally, , where k is the prime field for K; this is the fundamental theorem of projective geometry. Thus for K a prime field (Fp or Q), we have 1=PGL = PΓL, but for K a field with non trivial Galois automorphisms (such as Fpn for n ≥ 2 or C), the projective linear group is a proper subgroup of the collineation group, which can be thought of as "transforms preserving a projective semi linear structure". Correspondingly, the quotient group corresponds to "choices of linear structure", with the identity (base point) being the existing linear structure. One may also define collineation groups for axiomatically defined projective spaces, where there is no natural notion of a projective linear transform. However, with the exception of the non Desarguesian planes, all projective spaces are the projectivization of a linear space over a division ring though, as noted above, there are multiple choices of linear structure, namely a torsor over Gal(K/k) (for n ≥ 3).

Элементтер

Проективті сызықтық топтың элементтерін бір ось бойымен жазықтықты "қолдану" немесе "бұру" деп түсінуге болады, содан кейін бастапқы жазықтыққа проекциялау арқылы, және олардың өлшемдері де n-ге тең болады.

Проективті трансформацияларды түсінудің таныс геометриялық тәсілі – проективті айналымдар (PSO(n + 1) элементтері) арқылы, бұл бірлік гиперсферасының айналымдарының стереографиялық проекциясына сәйкес келеді және 1 = \textstyle{1+2+\cdots+n=\binom{n+1}{2} } өлшемді. Көрнекі тұрғыдан алғанда, бұл координаталардың бастапқы нүктесінде тұруға (немесе координаталардың бастапқы нүктесіне камераны орналастыруға) және көру бұрышын өзгертуге, содан кейін жазықтыққа проекциялауға сәйкес келеді. Гипержазықтыққа перпендикуляр осьтердегі айналымдар гипержазықтықты сақтайды және гипержазықтықтың айналуын тудырады (SO(n) элементі, оның өлшемдері 1= \textstyle{1+2+\cdots+(n-1) =\binom{n}{2} } ), ал гипержазықтыққа параллель осьтердегі айналымдар – бұл проективті бейнелеулер, және олар қалған n өлшемді құрайды.

Қасиеттері

PGL коллинеарлық нүктелерді коллинеарлық нүктелерге жібереді (ол проективті сызықтарды сақтайды), бірақ ол толық коллинеациялық топ емес, керісінше, n > 2 болғанда PΓL, ал 1 = n = 2 (проективті сызық) үшін толық симметриялық топ. Проективті кеңістіктің кез келген (бүйірлі) алгебралық автоморфизмі проективті сызықтық болып табылады. Бүйірлі рационалдық автоморфизмдер үлкен топты – Кремона тобын құрайды. PGL проективті кеңістікке адал әрекет етеді: бірлік емес элементтер тривиалды емес әрекет етеді. Нақтырақ айтқанда, GL-дің проективті кеңістікке әсер етуінің ядросы – дәл ПГЛ-де бөлінген скалярлық түрлендірулер. PGL проективті кеңістікте 2-транзитивті әрекет етеді. Себебі проективті кеңістіктегі екі түрлі нүкте бір түзуде жатпайтын екі векторға сәйкес келеді, демек, олар сызықтық тәуелсіз, ал GL сызықтық тәуелсіз векторлардың k элементтен тұратын жиындарына 2-транзитивті әрекет етеді. PGL(2, K) проективті сызықта өткір 3-транзитивті әрекет етеді. Кез келген үш нүкте әдетте [0, 1], [1, 1], [1, 0] нүктелеріне бейнеленеді; басқа нотацияда 0, 1, ∞. Бөлшектік сызықтық түрлендіру нотациясында функция a ↦ 0, b ↦ 1, c ↦ ∞ түрлендіруін жасайды және осыны жасайтын жалғыз түрлендіру болып табылады. Бұл – қиғаш қатынас (x, b; a, c) – толық мәліметтер үшін қараңыз. n ≥ 3 үшін PGL(n, K) 3-транзитивті әрекет етпейді, себебі ол кез келген үш нүктені жібермей, үш коллинеарлық нүктені басқа үш коллинеарлық нүктеге жіберуі керек. 1 = n = 2 үшін кеңістік проективті түзу болып табылады, сондықтан барлық нүктелер коллинеарлы және бұл ешқандай шектеу тудырмайды. PGL(2, K) проективті сызықта 4-транзитивті әрекет етпейді (PGL(2, 3 ерекшелік), себебі P1(3) 1 = 3 + 1 = 4 нүктеге ие, сондықтан 3-транзитивтілік 4-транзитивтілікті білдіреді); сақталатын инвариант – қиғаш қатынас, және ол әрбір басқа нүктенің қайда бейнеленетінін анықтайды: үш нүктенің бейнеленуін анықтау түрлендіруді анықтайды. Осылайша, ол проективті түзудің толық коллинеациялық тобы емес (F2 және F3 ерекшелік). PSL(2, q) және PGL(2, q) (q > 2 үшін, ал PSL үшін q тақ) – Зассенхаус топтарының төрт отбасының екеуі. PGL(n, K) – n2 − 1 өлшемді алгебралық топ және проективті кеңістік Pn2−1-дің ашық кіші тобы. Жоғарыда көрсетілгендей, функтор PSL(n, K) алгебралық топты немесе тіпті fppf шоғын анықтамайды, ал оның fppf топологиясындағы шоғырлауы шын мәнінде PGL(n, K) болып табылады. PSL және PGL орталықсыз – себебі диагональдық матрицалар тек орталық ғана емес, сонымен қатар гиперцентр (топтың ортасымен бөлінгенде нәтиже міндетті түрде орталықсыз емес).

PGL sends collinear points to collinear points (it preserves projective lines), but it is not the full collineation group, which is instead either PΓL (for n > 2) or the full symmetric group for 1=n = 2 (the projective line). Every (biregular) algebraic automorphism of a projective space is projective linear. The birational automorphisms form a larger group, the Cremona group. PGL acts faithfully on projective space: non identity elements act non trivially. Concretely, the kernel of the action of GL on projective space is exactly the scalar maps, which are quotiented out in PGL. PGL acts 2 transitively on projective space. This is because 2 distinct points in projective space correspond to 2 vectors that do not lie on a single linear space, and hence are linearly independent, and GL acts transitively on k element sets of linearly independent vectors. PGL(2, K) acts sharply 3 transitively on the projective line. Three arbitrary points are conventionally mapped to [0, 1], [1, 1], [1, 0]; in alternative notation, 0, 1, ∞. In fractional linear transformation notation, the function maps a ↦ 0, b ↦ 1, c ↦ ∞, and is the unique such map that does so. This is the cross ratio (x, b; a, c) – see for details. For n ≥ 3, PGL(n, K) does not act 3 transitively, because it must send 3 collinear points to 3 other collinear points, not an arbitrary set. For 1=n = 2 the space is the projective line, so all points are collinear and this is no restriction. PGL(2, K) does not act 4 transitively on the projective line (except for PGL(2, 3), as P1(3) has 1=3 + 1 = 4 points, so 3 transitive implies 4 transitive); the invariant that is preserved is the cross ratio, and this determines where every other point is sent: specifying where 3 points are mapped determines the map. Thus in particular it is not the full collineation group of the projective line (except for F2 and F3). PSL(2, q) and PGL(2, q) (for q > 2, and q odd for PSL) are two of the four families of Zassenhaus groups. PGL(n, K) is an algebraic group of dimension n2 − 1 and an open subgroup of the projective space Pn2−1. As defined, the functor PSL(n, K) does not define an algebraic group, or even an fppf sheaf, and its sheafification in the fppf topology is in fact PGL(n, K). PSL and PGL are centerless – this is because the diagonal matrices are not only the center, but also the hypercenter (the quotient of a group by its center is not necessarily centerless).

Фракциялық сызықтық түрлендірулер

Мёбиус түрлендірулеріне келетін болсақ, PGL(2, K) тобын K коэффициенттері бар бөлшектік сызықтық түрлендірулер ретінде қарастыруға болады. K үстіндегі проекциялық түзудегі нүктелер K²-ден алынған жұптарға сәйкес келеді, екі жұп пропорционалды болса, олар тең болып саналады. Екінші координата нөлге тең болмаса, нүктені [z, 1] түрінде көрсетуге болады. ad − bc ≠ 0 жағдайында, PGL(2, K) әрекеті сызықтық түрлендіру арқылы жүзеге асырылады:

Осылайша, тізбектеп қолданылатын түрлендірулерді осындай матрицаларға оңнан көбейту арқылы жазуға болады, ал матрицалық көбейту PGL(2, K) тобындағы топтық көбейту үшін қолданылады.

Шекті өрістер

Fq шекті өрісі үшін проективті арнайы сызықтық топтар PSL(n, Fq) көбінесе PSL(n, q) немесе Ln(q) деп жазылады. n кем дегенде 2 болғанда, олар шекті қарапайым топтар болып табылады, екі ерекшелік бар: L2(2), ол S3-ке изоморфты, 3 әріптегі симметриялық топ және шешіледі; және L2(3), ол A4-ке изоморфты, 4 әріптегі алмастыру тобы және ол да шешіледі. Бұл ерекше изоморфизмдер проективті түзудегі әрекеттен туындайды деп түсіндірілуі мүмкін. Сондықтан, арнайы сызықтық топтар SL(n, q) квазиқарапайым болып табылады: қарапайым топтың толық орталық кеңейтілімдері (егер n=1 және n=2 болмаса, және егер q=1, q=2 немесе q=3 болмаса).

Тарих

Кез келген жай сан p үшін PSL(2, p) топтарын 1830 жылдары Эварист Галуа салған, және олар алмастыру топтарынан кейін шекті жай топтардың екінші отбасысы болды. Галуа оларды бөлшекті сызықтық түрлендірулер ретінде жасады, және p саны 2 немесе 3 болса, олар жай екенін байқады; бұл оның Шевальеге жазған соңғы хатында көрсетілген. Сол хатта және қоса берілген қолжазбаларда Галуа, pν дәрежелі жалпы теңдеудің Галуа тобын зерттеу барысында, GL(ν, p) түріндегі жай өрістегі жалпы сызықтық топты да жасады. Кез келген жай санның дәрежесі q үшін PSL(n, q) (жалпы n, жалпы шекті өріс) топтары Камиль Джорданның 1870 жылғы классикалық еңбегінде, «Traite des substitutions et des équations algébriques» құралымен салынды.

Матье топтары

PSL(3, 4) тобы Матье тобы M24-ті, спорадикалық қарапайым топтардың бірін құру үшін қолданылуы мүмкін; осы контексте PSL(3, 4) M21 деп аталады, бірақ ол өзі Матье тобы емес. Бастапқыда төрт элементі бар өріс үстіндегі проективті жазықтық алынады, ол S(2, 5, 21) типіндегі Штайнер жүйесі болып табылады – яғни, онда 21 нүкте, әр түзудің ("Штайнер терминологиясындағы блок") 5 нүктесі бар, және кез келген 2 нүкте түзуді анықтайды – және оған PSL(3, 4) әрекет етеді. Бұл Штайнер жүйесі W21 ("W" – Витт үшін) деп аталады, содан кейін ол үлкен Штайнер жүйесі W24-ке дейін кеңейтіледі, симметрия тобы да кеңейтіледі: проективті жалпы сызықтық топ PGL(3, 4)-ке, содан кейін проективті жартылай сызықтық топ PΓL(3, 4)-ке және ақырында Матье тобы M24-ке дейін. M24 сонымен қатар M22-де максимал болатын PSL(2, 11) және M24-де максимал болатын PSL(2, 23) көшірмелерін қамтиды, олар M24-ті құру үшін қолданылуы мүмкін.

Қаптамалық топтар

Нақты және комплекс сандар аясында проективті арнайы сызықтық топтар, арнайы сызықтық Ли алгебрасы үшін минималды (ортасы жоқ) Ли тобының жүзеге асырылуы болып табылады. Ли алгебрасы PSL(n, F) болатын әрбір байланысқан Ли тобы, PSL(n, F) тобының жабыны болып табылады. Керісінше, оның әмбебап жабу тобы – максималды (жасырап қосылған) элемент, ал аралық жүзеге асырулар жабу топтарының тор құрайды. Мысалы, SL(2, R) ортасы және негізгі тобы Z-ға ие, сондықтан әмбебап жабыны бар және ортасы жоқ PSL(2, R) тобын жабады.

Өкілдік теориясы

G тобынан PGL(V) проективті сызықтық тобына топтық гомоморфизм, сызықтық бейнеленуге (G → GL(V) гомоморфизмі) ұқсастық бойынша, G тобының проективті бейнеленуі деп аталады. Бұл мәселені Иссаи Шур зерттеді және G тобының проективті бейнелерін G тобының орталық кеңейтулерінің сызықтық бейнелері арқылы жіктеуге болатынын көрсетті. Бұл, осы сұраққа жауап беру үшін қолданылатын Шур көбейтушісіне алып келді.

Кіші өлшемдері

Проективті сызықтық топ көбінесе n ≥ 2 үшін зерттеледі, бірақ оны төмен өлшемдер үшін де анықтауға болады. 1=n = 0 (немесе шындығында n < 0) болғанда, K0 проекциялық кеңістігі бос, себебі 0 өлшемді кеңістікте 1 өлшемді ішкі кеңістіктер жоқ. Осылайша, PGL(0, K) – бос жиыннан өзіне дейінгі жалғыз бос функциядан тұратын тривиальды топ. Бұдан әрі, 0 өлшемді кеңістікте скалярлардың әсері тривиальды, сондықтан K× → GL(0, K) картасы жоғары өлшемдердегідей қосымша емес, тривиальды. 1=n = 1 болғанда, K1 проекциялық кеңістігі бір ғана нүктеден тұрады, себебі бір ғана 1 өлшемді ішкі кеңістік бар. Осылайша, PGL(1, K) – жалғыз элементтен тұратын жиыннан өзіне дейінгі жалғыз картадан тұратын тривиальды топ. Бұдан әрі, 1 өлшемді кеңістіктің жалпы сызықтық тобы – осы скалярлардың өзі, сондықтан карта изоморфизм болып табылады, бұл тривиальды болуға сәйкес келеді. 1=n = 2 болғанда, PGL(2, K) тривиальды емес, бірақ ерекше, себебі ол 3-транзитивті, ал жоғары өлшемдерде ол тек 2-транзитивті ғана.