Введение

В математике, особенно в области теории групп в алгебре, проективная линейная группа (также известная как проективная общая линейная группа или PGL) — это индуцированное действие общей линейной группы векторного пространства V на соответствующее проективное пространство P(V). Явно, проективная линейная группа — это фактор-группа:
PGL(V) = GL(V) / Z(V),
где GL(V) — общая линейная группа пространства V, а Z(V) — подгруппа всех ненулевых скалярных преобразований V; они выделяются, поскольку тривиально действуют на проективном пространстве и образуют ядро действия, а обозначение "Z" отражает, что скалярные преобразования образуют центр общей линейной группы. Проективная специальная линейная группа PSL определяется аналогично, как индуцированное действие специальной линейной группы на соответствующее проективное пространство. Явно:
PSL(V) = SL(V) / SZ(V),
где SL(V) — специальная линейная группа над V, а SZ(V) — подгруппа скалярных преобразований с детерминантом, равным единице. Здесь SZ является центром SL и естественным образом отождествляется с группой n-х корней из единицы в F (где n — размерность V, а F — базовое поле). PGL и PSL — одни из фундаментальных групп для изучения, являющиеся частью так называемых классических групп, а элемент PGL называется проективным линейным преобразованием, проективным преобразованием или гомографией. Если V — n-мерное векторное пространство над полем F, то есть V = Fn, используются также альтернативные обозначения PGL(n, F) и PSL(n, F). Следует отметить, что PGL(n, F) и PSL(n, F) изоморфны тогда и только тогда, когда каждый элемент F имеет n-й корень в F. Например, PGL(2, C) = PSL(2, C), но PGL(2, R) ≠ PSL(2, R); это соответствует тому, что вещественная проективная прямая ориентируема, а проективная специальная линейная группа состоит только из преобразований, сохраняющих ориентацию. PGL и PSL также могут быть определены над кольцом, важным примером является модульная группа, PSL(2, Z).

Имя

Название происходит от проективной геометрии, где проективная группа, действующая на однородные координаты (x0 : x1 : … : xn), является фундаментальной группой этой геометрии. Иными словами, естественное действие GL(V) на V индуцирует действие PGL(V) на проективное пространство P(V). Проективные линейные группы, таким образом, обобщают случай PGL(2, C) преобразований Мёбиуса (иногда называемых группой Мёбиуса), которые действуют на проективной прямой. Важно отметить, что в отличие от общей линейной группы, которая обычно определяется аксиоматически как «обратимые функции, сохраняющие линейную (векторную) структуру», проективная линейная группа определяется конструктивно, как факторгруппа общей линейной группы соответствующего векторного пространства, а не аксиоматически как «обратимые функции, сохраняющие проективную линейную структуру». Это отражено в обозначениях: PGL(n, F) – это группа, ассоциированная с GL(n, F), и является проективной линейной группой (n − 1)-мерного проективного пространства, а не n-мерного проективного пространства.

Коллинеации

Связанная группа — это группа коллинеаций, которая определяется аксиоматически. Коллинеация — это обратимое (или, в более общем случае, взаимно однозначное) отображение, которое переводит коллинеарные точки в коллинеарные точки. Проективное пространство можно определить аксиоматически в терминах структуры инцидентности (множества точек P, линий L и отношения инцидентности I, определяющего, какие точки лежат на каких линиях), удовлетворяющей определенным аксиомам. Автоморфизм проективного пространства, определенного таким образом, является автоморфизмом f множества точек и автоморфизмом g множества линий, сохраняющим отношение инцидентности, что и является коллинеацией пространства на себя. Проективные линейные преобразования являются коллинеациями (плоскости в векторном пространстве соответствуют прямым в ассоциированном проективном пространстве, а линейные преобразования отображают плоскости в плоскости, следовательно, проективные линейные преобразования отображают прямые в прямые), но, как правило, не все коллинеации являются проективными линейными преобразованиями. PGL, как правило, является собственной подгруппой коллинеационной группы. В частности, для n = 1 = 2 (проективная прямая) все точки коллинеарны, поэтому коллинеационная группа является точно симметричной группой точек проективной прямой, и за исключением F₂ и F₃ (где PGL является полной симметричной группой), PGL является собственной подгруппой полной симметричной группы на этих точках. Для n ≥ 3 коллинеационной группой является проективная полулинейная группа PΓL — это PGL, скрученная автоморфизмами поля; формально , где k — простое поле для K; это фундаментальная теорема проективной геометрии. Таким образом, для K — простого поля (Fₚ или Q), у нас есть PGL = PΓL, но для K — поля с нетривиальными автоморфизмами Галуа (такими как Fₚⁿ для n ≥ 2 или C), проективная линейная группа является собственной подгруппой коллинеационной группы, которую можно рассматривать как «преобразования, сохраняющие проективную полулинейную структуру». Соответственно, факторгруппа соответствует «выбору линейной структуры», при этом единичный элемент (базовая точка) является существующей линейной структурой. Можно также определить группы коллинеаций для аксиоматически определенных проективных пространств, где нет естественного понятия проективного линейного преобразования. Однако, за исключением недесаргезианских плоскостей, все проективные пространства являются проективизацией линейного пространства над полем (или кольцом с делением), хотя, как отмечалось выше, существует несколько вариантов линейной структуры, а именно торсор над Gal(K/k) (для n ≥ 3).

Элементы

Элементы проективной линейной группы можно понимать как «наклон плоскости» вдоль одной из осей, с последующей проекцией на исходную плоскость, и при этом они имеют размерность n.

Более наглядный геометрический способ понимания проективных преобразований – через проективные вращения (элементы PSO(n + 1)), которые соответствуют стереографической проекции вращений единичной гиперсферы и имеют размерность 1 = \textstyle{1+2+\cdots+n=\binom{n+1}{2}}. Визуально это можно представить как наблюдение из начала координат (или размещение камеры в начале координат) с последующим изменением угла обзора и проекцией на плоскую плоскость. Вращения вокруг осей, перпендикулярных гиперплоскости, сохраняют гиперплоскость и приводят к вращению самой гиперплоскости (элемент SO(n), имеющий размерность 1 = \textstyle{1+2+\cdots+(n-1) =\binom{n}{2}}), в то время как вращения вокруг осей, параллельных гиперплоскости, являются собственно проективными преобразованиями и учитывают оставшиеся n измерений.

Свойства

PGL отображает коллинеарные точки в коллинеарные точки (он сохраняет проективные прямые), но не является полной коллинеационной группой, которая вместо этого является либо PΓL (для n > 2), либо полной симметрической группой для 1 = n = 2 (проективная прямая). Каждый (бирегулярный) алгебраический автоморфизм проективного пространства является проективно-линейным. Бирациональные автоморфизмы образуют большую группу, группу Кремоны. PGL действует верно на проективном пространстве: неединичные элементы действуют нетривиально. В частности, ядро действия GL на проективном пространстве состоит именно из скалярных отображений, которые выделяются при переходе к PGL. PGL действует 2-транзитивно на проективном пространстве. Это связано с тем, что 2 различные точки в проективном пространстве соответствуют 2 векторам, не лежащим в одном линейном пространстве, и, следовательно, линейно независимы, а GL действует транзитивно на множествах из k линейно независимых векторов. PGL(2, K) действует 3-транзитивно на проективной прямой. Три произвольные точки обычно отображаются в [0, 1], [1, 1], [1, 0]; в альтернативной записи 0, 1, ∞. В представлении дробно-линейных преобразований функция отображает a → 0, b → 1, c → ∞, и является единственным таким отображением, обладающим этим свойством. Это двойное отношение (x, b; a, c) – подробности см. в [ссылка]. Для n ≥ 3, PGL(n, K) не действует 3-транзитивно, поскольку он должен отображать 3 коллинеарные точки в 3 другие коллинеарные точки, а не в произвольное множество. Для 1 = n = 2 пространство является проективной прямой, поэтому все точки коллинеарны, и это не является ограничением. PGL(2, K) не действует 4-транзитивно на проективной прямой (за исключением PGL(2, 3), поскольку P1(3) имеет 1 = 3 + 1 = 4 точки, поэтому 3-транзитивность влечет за собой 4-транзитивность); инвариантом, который сохраняется, является двойное отношение, и оно определяет, куда отображается каждая другая точка: задание отображения трех точек однозначно определяет само отображение. Таким образом, в частности, это не является полной коллинеационной группой проективной прямой (за исключением F2 и F3). PSL(2, q) и PGL(2, q) (для q > 2 и нечетного q для PSL) являются двумя из четырех семейств групп Зассенхауса. PGL(n, K) является алгебраической группой размерности n2 − 1 и открытой подгруппой проективного пространства Pn2−1. В данном определении функтор PSL(n, K) не определяет алгебраическую группу и даже пучок fppf, а его пучкование в топологии fppf фактически является PGL(n, K). PSL и PGL не имеют центра – это связано с тем, что диагональные матрицы являются не только центром, но и гиперцентром (частное группы по ее центру не обязательно не имеет центра).

Фракционные линейные преобразования

Что касается преобразований Мёбиуса, группа PGL(2, K) может быть интерпретирована как дробно-линейные преобразования с коэффициентами в K. Точки на проективной прямой над K соответствуют парам из K², причем две пары эквивалентны, если они пропорциональны. Если вторая координата ненулевая, точку можно представить в виде [z, 1]. Тогда, при условии ad − bc ≠ 0, действие PGL(2, K) реализуется линейным преобразованием: таким образом, последовательные преобразования можно записать как умножение справа на эти матрицы, а матричное умножение можно использовать для операции группового умножения в PGL(2, K).

Определенные поля

Проективные специальные линейные группы PSL(n, Fq) для конечного поля Fq часто записываются как PSL(n, q) или Ln(q). Они являются конечными простыми группами при n ≥ 2, за двумя исключениями: L2(2), изоморфная S3, симметричной группе на 3 элементах, и разрешимая; и L2(3), изоморфная A4, чередующейся группе на 4 элементах, также разрешимая. Эти исключительные изоморфизмы можно объяснить как возникающие из действия на проективной прямой. Специальные линейные группы SL(n, q) таким образом являются квазипростыми: совершенными центральными расширениями простой группы (за исключением случаев n = 1 или n = 2 и q = 2 или q = 3).

История

Группы PSL(2, p) для любого простого числа p были построены Эваристом Галуа в 1830-х годах и стали вторым семейством конечных простых групп после чередующихся групп. Галуа построил их как дробно-линейные преобразования и заметил, что они просты, за исключением случаев, когда p равно 2 или 3; это содержится в его последнем письме Шевалье. В том же письме и приложенных рукописях Галуа также построил общую линейную группу над простым полем, GL(ν, p), при изучении группы Галуа общего уравнения степени pν. Группы PSL(n, q) (для общего n и общего конечного поля) для любой степени простого числа q были затем построены в классическом труде 1870 года Камиля Жордана «Traité des substitutions et des équations algébriques».

Группы Матье

Группа PSL(3, 4) может быть использована для построения группы Матье M24, одной из спорадических простых групп; в этом контексте PSL(3, 4) называют M21, хотя сама по себе она не является группой Матье. Начинают с проективной плоскости над полем из четырех элементов, которая является системой Штайнера типа S(2, 5, 21) – то есть она содержит 21 точку, каждая линия ("блок" в терминологии Штайнера) содержит 5 точек, и любые 2 точки определяют единственную линию – и на которой действует PSL(3, 4). Эту систему Штайнера называют W21 ("W" от Witt), а затем расширяют до большей системы Штайнера W24, расширяя группу симметрий: до проективной общей линейной группы PGL(3, 4), затем до проективной полулинейной группы PΓL(3, 4) и, наконец, до группы Матье M24. M24 также содержит копии PSL(2, 11), которая максимальна в M22, и PSL(2, 23), которая максимальна в M24, и может быть использована для построения M24.

Группы покрытия

Над действительными и комплексными числами, проективные специальные линейные группы являются минимальными (бесцентровыми) реализациями групп Ли для специальной линейной алгебры Ли. Любая связная группа Ли, алгебра Ли которой изоморфна sl(n, F), является накрытием PSL(n, F). Обратно, её универсальная накрывающая группа является максимальным (простосвязным) элементом, а промежуточные накрытия образуют решетку накрывающих групп. Например, SL(2, R) имеет центр и фундаментальную группу Z, и, следовательно, имеет универсальное накрытие и является накрытием бесцентровой PSL(2, R).

Теория представления

Групповой гомоморфизм G → PGL(V) из группы G в проективную линейную группу называется проективным представлением группы G, по аналогии с линейным представлением (гомоморфизм G → GL(V)). Они были изучены Иссаем Шуром, который показал, что проективные представления G можно классифицировать в терминах линейных представлений центральных расширений G. Это привело к множителю Шура, который используется для изучения этого вопроса.

Низкие размеры

Проективная линейная группа в основном изучается для n ≥ 2, хотя её можно определить и для малых размерностей. Для n = 0 (или, фактически, n < 0) проективное пространство K⁰ пусто, поскольку в 0-мерном пространстве нет 1-мерных подпространств. Следовательно, PGL(0, K) — тривиальная группа, состоящая из единственного пустого отображения из пустого множества в само себя. Кроме того, действие скаляров на 0-мерном пространстве тривиально, поэтому отображение K× → GL(0, K) также тривиально, а не включение, как это происходит в более высоких размерностях. Для n = 1 проективное пространство K¹ состоит из единственной точки, так как существует единственное 1-мерное подпространство. Таким образом, PGL(1, K) — тривиальная группа, состоящая из единственного отображения из синглетонного множества в само себя. Более того, общая линейная группа 1-мерного пространства состоит ровно из скаляров, поэтому отображение является изоморфизмом, соответствующим тривиальности. Для n = 2 группа PGL(2, K) нетривиальна, но обладает необычным свойством — она 3-транзитивна, в отличие от более высоких размерностей, где она лишь 2-транзитивна.