Кіріспе

Алгебралық геометрияның саласы

Математикада бирационалдық геометрия – алгебралық геометрияның бір саласы, ондағы мақсат – екі алгебралық санның төменгі өлшемді жиынтықтардан басқа жерде изоморфты екенін анықтау. Бұл полиномдар емес, рационалдық функциялар арқылы берілген бейнелеулерді зерттеуге келгенде; рационалдық функциялардың полюстері бар жерде бейнелеу анықталмауы мүмкін.

Рационалды карталар

Бір түрден (қайталана алмайтындығы түсініледі) екінші түрге, пунктирленген жебемен белгіленетін рационалдық карта, бос емес ашық ішкі жиыннан морфизм ретінде анықталады. Алгебралық геометрияда қолданылатын Зариски топологиясының анықтамасына сәйкес, бос емес ашық ішкі жиын әрқашан тығыз болады, тіпті төмен өлшемді ішкі жиынның толықтырғышынан тұрады. Конкретті айтқанда, рационалдық карта координаттар арқылы рационалды функцияларды қолдана отырып жазылуы мүмкін.

Бирациялық карталар

X-тен Y-ге дейінгі бирационалдық бейнелеу – f: X ⇢ Y рационалдық бейнелеу, онда f-ке кері рационалдық бейнелеу Y ⇢ X бар. Бирационалдық бейнелеу X-тің бос емес ашық ішкі жиынынан Y-тің бос емес ашық ішкі жиынына изоморфизм тудырады, және керісінше: X және Y-тің бос емес ашық ішкі жиындары арасындағы изоморфизм, анықтама бойынша, f: X ⇢ Y бирационалдық бейнелеуін береді. Мұндай жағдайда X және Y бирационал немесе бирационалды теңдес деп аталады. Алгебралық тұрғыдан алғанда, k даласының үстіндегі екі сорт, олардың функциялық далалары k-ның кеңейтім далалары ретінде изоморфты болса және тек сонда ғана бирационал болып табылады. Бирационалдық морфизм – бұл f: X → Y морфизмі, яғни бирационал болатын морфизм. Яғни, f барлық жерде анықталған, бірақ оның керісі анықталмауы мүмкін. Көбінесе, мұндай жағдайда бирационалдық морфизм X-тің кейбір ішкі сорттарын Y нүктелеріне қысқартады.

Бирационалдық теңдестік және рационалдық

X түрлiлiгi егер ол қандай да бiр өлшемдi аффин кеңiстiкке (немесе тиiсiнше проективтi кеңiстiкке) бирационал болса, рационал деп айтылады. Рационалдылық – өте табиғи қасиет: ол X, кейбір төмен өлшемдi жиынтығын шығарғанда, аффин кеңiстiгiн, сол сияқты кейбір төмен өлшемдi жиынтығын шығарғанда, оған тең болады дегендi бiлдiредi.

Сәл төртбұрыштар мен Pn-дің бирационалдық баламалылығы

Жалпы алғанда, кез келген өлшемдегі n тегіс квадраттық (2-дәрежелі) гипербет X стереографиялық проекция арқылы рационалды болып табылады. (Егер X – k өрісіндегі квадраттық гипербет болса, X-тің k-рационалды нүктесінің болуы қажет; егер k алгебралық жабық болса, бұл автоматты түрде орындалады.) Стереографиялық проекцияны анықтау үшін, p нүктесін X-тегі нүкте деп белгілейік. Содан кейін X-тен p арқылы өтетін түзулердің проективтік кеңістігіне бирационалды бейнелеуді X-тегі q нүктесін p және q арқылы өтетін түзуге жіберу арқылы анықтаймыз. Бұл бирационалды теңдестік, бірақ сорттардың изоморфизмі емес, себебі ол q = p болған жағдайда анықталмайды (және кері бейнелеу X-те жатқан p арқылы өтетін түзулерде анықталмайды).

Бирациялық инварианттар

Бастапқыда, алгебралық түрлердің рационалды емес екенін қалай көрсетуге болатыны белгісіз. Мұны дәлелдеу үшін алгебралық түрлердің кейбір бирационалдық инварианттары қажет. Бирационалдық инвариант – бирационалдық эквивалентті сорттардың барлығы үшін бірдей немесе изоморфты болатын кез келген сан, сақина және т.б.

Көп тұқымды

Бір пайдалы екіқиылы инварианттар жиынтығы – плюригенералар. n өлшемді тегіс X сортының канондық шоғыры – n формасы бар 1=KX = Ωn түзу шоғыры, бұл X сортының котангент шоғырының n-інші сыртқы қуаты. d бүтін саны үшін KX шоғырының d-тензорлық қуаты да түзу шоғыр болып табылады. d ≥ 0 үшін, H0(X, KXd) глобальды қималарының векторлық кеңістігі ерекше қасиетке ие: тегіс проективті сорттар арасындағы f : X ⇢ Y бирационалдық бейнелеу H0(X, KXd) ≅ H0(Y, KYd) изоморфизмін тудырады. d ≥ 0 үшін, d-інші плюригенус Pd, H0(X, KXd) векторлық кеңістігінің өлшемі ретінде анықталады; содан кейін плюригенералар тегіс проективті сорттар үшін бирационалдық инварианттар болып табылады. Атап айтқанда, егер d > 0 кез келген плюригенус Pd нөлге тең болмаса, онда X рационалды емес.

Кодайра өлшемдері

Бірлік инвариантының негізгісі – Кодайра өлшемі, ол d шексізге ұмтылғанда Pd плюригенераларының өсуін өлшейді. Кодайра өлшемі n өлшемді барлық алгебралық сорттарды n + 2 типке бөледі: Кодайра өлшемі -∞, 0, 1, ..., немесе n. Бұл сорттың күрделілігінің көрсеткіші, проективтік кеңістіктің Кодайра өлшемі -∞ тең. Ең күрделі сорттар – Кодайра өлшемі өз өлшемдері n-ге тең сорттар, олар жалпы типтегі сорттар деп аталады.

Сырты тегіс проективті сорттардың негізгі тобы

Басты топ π1(X) – тегіс күрделі проективті сорттар үшін бирационалдық инвариант. Абрамович, Кару, Мацуки және Влодарчик (2002) дәлелдеген "Әлсіз факторлау теоремасы" екі тегіс күрделі проективті сорт арасындағы кез келген бирационалдық бейнелеуді тегіс ішкі сорттардың шекті саны көтерілулері мен төмендеулеріне жіктеуге болатынын көрсетеді. Бұл маңызды білу керек, бірақ екі тегіс проективті сорттың бирационалды екенін анықтау әлі де өте қиын болуы мүмкін.

Жоғары өлшемді минималды модельдер

Егер канондық түйін KX nef болса, проективті X сорты минималды деп аталады. X-тің 2 өлшемі үшін осы анықтамадағы тегіс сорттарды қарастыру жеткілікті. Кемінде 3 өлшемде минималды сорттардың белгілі бір жеңіл ерекшеліктері болуы мүмкін, онда KX әлі де жақсы қасиеттерге ие болады; мұндайларды терминалды ерекшеліктер деп атайды. Алайда, минималды модельдік болжамы кез келген X сорты рационалды қисықтармен жабылады немесе Y минималды сортына бирационалды болады дегенді білдіреді. Егер ол болса, Y – X-тің минималды моделі деп аталады. Минималды модельдер кемінде 3 өлшемде бірегей емес, бірақ кез келген екі бирационалды минималды сорт өте жақын болады. Мысалы, олар кемінде 2 кодтылығы бар ішкі жиынтықтардың сыртында изоморфты, және дәлірек айтқанда, олар флоптар тізбегі арқылы байланысты. Осылайша, минималды модельдік болжамы алгебралық сорттардың бирационалдық жіктелуі туралы маңызды мәліметтер береді. Бұл болжамды Мори 3 өлшемде дәлелдеді. Жоғары өлшемдерде үлкен прогресс болды, бірақ жалпы мәселе әлі де ашық. Атап айтқанда, Birkar, Cascini, Hacon және McKernan (2010) нөлдік сипаттамасы бар өріс үстіндегі жалпы типтегі кез келген сорттың минималды моделі бар екенін дәлелдеді.

Ерекшеленбеген сорттар

Егер сорт рационалды қисықтармен жабылса, онда ол uniruled деп аталады. Uniruled сорттың минималды моделі жоқ, бірақ оның орнына жақсы нәрсе бар: Биркар, Каскини, Хакон және МакКернан әрбір uniruled сорттың нөлдік сипаттамасы бар өрісте Фано талшықты кеңістігіне бирационал екенін көрсетті. Бұл Фано талшықты кеңістіктерін және (ең қызықты ерекше жағдай ретінде) Фано сорттарын бирационалдық жіктеу мәселесіне алып келеді. Анықтама бойынша, проективті X сортының антиканондық шоғыры мол болса, онда ол Фано болып табылады. Фано сорттарын проективті кеңістікке ең ұқсас алгебралық сорттар деп қарастыруға болады. 2-өлшемде, алгебралық жабық өрістегі әрбір Фано сорты (Дель-Пеццо беті деп аталады) рационалды болып табылады. 1970 жылдары жасалған маңызды жаңалық – 3-өлшемнен бастап рационалды емес көптеген Фано сорттарының бар екендігі болды. Атап айтқанда, Клеменс-Гриффитс (1972) бойынша тегіс кубикалық 3 бүктемесі рационалды емес, ал Исковских-Манин (1971) бойынша тегіс квартикалық 3 бүктемесі де рационалды емес. Дегенмен, қандай Фано сорттары рационалды екенін анықтау мәселесі әлі де толық шешілмеген. Мысалы, n ≥ 4 болғанда, рационалды емес тегіс кубикалық гипербет бар ма, жоқ па, әлі белгісіз.

Қолданбалар

Бирационалдық геометрия геометрияның басқа салаларында қолданыс тапты, бірақ ең бастысы алгебралық геометриядағы дәстүрлі мәселелерде. Атақты Minimal model бағдарламасы Янош Колла́р мен Николас Шепард Баррон қолданысымен жалпы типтегі сорттардың модульдік кеңістіктерін құруға пайдаланылды, бұл кеңістіктер қазір KSB модульдік кеңістіктері деп аталады. Бирационалдық геометрия жақында Кахлер-Эйнштейн метрикасының жалпылама болуына қатысты нәтижелер арқылы Фано сорттарының K-тұрақтылығын зерттеуде, бирационалдық модельдерде есептеулер арқылы K-тұрақтылығын тексеруге арналған Фано сорттарының нақты инварианттарын жасауда және Фано сорттарының модульдік кеңістіктерін құруда маңызды қолданыстар тапты. Бирационалдық геометриядағы маңызды нәтижелер, мысалы, Бирка́рдың Фано сорттарының шектелуін дәлелдеуі, модульдік кеңістіктердің бар екенін дәлелдеу үшін қолданылды.