Введение

Поле алгебраической геометрии

В математике бирациональная геометрия — это область алгебраической геометрии, целью которой является определение, когда две алгебраические многообразия изоморфны вне подмножеств меньшей размерности. Это сводится к изучению отображений, задаваемых рациональными функциями, а не полиномами; отображение может быть не определено в точках, где рациональные функции имеют полюса.

Рациональные карты

Рациональное отображение из одного многообразия (понимаемого как неприводимого) в другое многообразие, обозначаемое пунктирной стрелкой, определяется как морфизм с непустого открытого подмножества в . По определению Zariski-топологии, используемой в алгебраической геометрии, непустое открытое подмножество всегда плотно в , фактически, его дополнение является подмножеством меньшей размерности. Конкретно, рациональное отображение может быть записано в координатах с помощью рациональных функций.

Бирационные карты

Бирациональное отображение из X в Y — это рациональное отображение f : X ⇢ Y, для которого существует рациональное отображение Y ⇢ X, обратное к f. Бирациональное отображение индуцирует изоморфизм между непустым открытым подмножеством X и непустым открытым подмножеством Y, и наоборот: изоморфизм между непустыми открытыми подмножествами X и Y по определению задаёт бирациональное отображение f : X ⇢ Y. В этом случае говорят, что X и Y бирациональны, или бирационально эквивалентны. В алгебраических терминах, две многообразия над полем k бирациональны тогда и только тогда, когда их поля функций изоморфны как расширения поля k.

Частным случаем является бирациональный морфизм f : X → Y, то есть морфизм, являющийся бирациональным отображением. Это означает, что f определена всюду, но её обратное отображение может не быть определено. Как правило, это происходит из-за того, что бирациональный морфизм сжимает некоторые подмногообразия X в точки Y.

Бирациональная эквивалентность и рациональность

Считается, что многообразие X рационально, если оно бирационально аффинному пространству (или, эквивалентно, проективному пространству) некоторой размерности. Рациональность – это весьма естественное свойство: оно означает, что X, за исключением подмножества меньшей размерности, может быть отождествлено с аффинным пространством, за исключением подмножества меньшей размерности.

Бирациональная эквивалентность гладких квадриков и Pn

Более общим образом, гладкая квадратичная (степени 2) гиперповерхность X любой размерности n рациональна, посредством стереографической проекции. (Для квадратичной гиперповерхности X над полем k необходимо предположить, что X имеет k-рациональную точку; это выполняется автоматически, если k алгебраически замкнуто.) Чтобы определить стереографическую проекцию, пусть p – точка в X. Тогда бирациональное отображение из X в проективное пространство прямых, проходящих через p, задается отправкой точки q из X в прямую, проходящую через p и q. Это бирациональная эквивалентность, но не изоморфизм многообразий, поскольку она не определена в точке q = p (и обратное отображение не определено для тех прямых, проходящих через p, которые лежат на X).

Бирациональные инварианты

Сначала не очевидно, как доказать существование алгебраических многообразий, которые не являются рациональными. Для этого необходимо ввести некоторые бирациональные инварианты алгебраических многообразий. Бирациональный инвариант – это любое число, кольцо и т.п., которое либо одинаково, либо изоморфно для всех многообразий, бирационально эквивалентных друг другу.

Плюригенера

Одним из полезных наборов бирациональных инвариантов являются плюригенера. Канонический пучок гладкого многообразия X размерности n – это линейный пучок n форм, определяемый как KX = Ωn, являющийся n-й внешней степенью котангентного пучка X. Для целого числа d, d-я тензорная степень KX также является линейным пучком. Для d ≥ 0 векторное пространство глобальных сечений H0(X, KXd) обладает замечательным свойством: бирациональное отображение f : X ⇢ Y между гладкими проективными многообразиями индуцирует изоморфизм H0(X, KXd) ≅ H0(Y, KYd). Для d ≥ 0 определим d-й плюригенус Pd как размерность векторного пространства H0(X, KXd); тогда плюригенусы являются бирациональными инвариантами для гладких проективных многообразий. В частности, если какой-либо плюригенус Pd при d > 0 отличен от нуля, то X не является рациональным.

Размер Кодайры

Фундаментальной бирациональной инвариантой является измерение Кодайры, которое измеряет рост плюригенера $P_d$ при стремлении $d$ к бесконечности. Измерение Кодайры разделяет все многообразия размерности $n$ на $n+2$ типа, с измерениями Кодайры равными $-\infty$, 0, 1, ..., или $n$. Это мера сложности многообразия, при этом проективное пространство имеет измерение Кодайры $-\infty$. Наиболее сложными являются многообразия общего типа, то есть те, у которых измерение Кодайры равно их размерности $n$.

Основная группа гладких проецирующих сортов

Фундаментальная группа π1(X) является бирациональным инвариантом для гладких комплексных проективных многообразий. "Теорема о слабой факторизации", доказанная Абрамовичем, Кару, Мацуки и Влодарчиком (2002), утверждает, что любое бирациональное отображение между двумя гладкими комплексными проективными многообразиями можно разложить на конечное число выдуваний или сдуваний гладких подмногообразий. Это важно знать, но всё ещё может быть очень сложно определить, являются ли два гладких проективных многообразия бирациональными.

Минимальные модели в более высоких размерах

Проективное многообразие X называется минимальным, если канонический пучок KX является nef. Для X размерности 2 достаточно рассматривать гладкие многообразия в этом определении. В размерностях не меньше 3 минимальным многообразиям допускается наличие определенных мягких сингулярностей, для которых KX все еще ведет себя хорошо; эти сингулярности называются терминальными. При этом, гипотеза о минимальной модели подразумевает, что каждое многообразие X либо покрыто рациональными кривыми, либо бирационально минимальному многообразию Y. Если оно существует, Y называется минимальной моделью X. Минимальные модели не единственны в размерностях не меньше 3, но любые два минимальных многообразия, которые бирациональны, очень близки друг к другу. Например, они изоморфны вне подмножеств коразмерности не меньше 2, и более точно они связаны последовательностью флопов. Таким образом, гипотеза о минимальной модели дала бы сильную информацию о бирациональной классификации алгебраических многообразий. Гипотеза была доказана в размерности 3 Мори. В более высоких размерностях достигнут значительный прогресс, хотя общая проблема остается открытой. В частности, Биркар, Касчини, Хакон и Маккернан (2010) доказали, что каждое многообразие общего типа над полем характеристики ноль имеет минимальную модель.

Нерарированные сорта

Разнообразие называется унирульным, если оно покрыто рациональными кривыми. Унирульное разнообразие не имеет минимальной модели, но существует хорошая замена: Биркар, Касчини, Хакон и МакКернан показали, что каждое унирульное разнообразие над полем характеристики ноль бирационально к расслоению Фано по волокнам. Это приводит к проблеме бирациональной классификации расслоений Фано по волокнам и (как наиболее интересный частный случай) многообразий Фано. По определению, проективное разнообразие X является Фано, если антиканонический пучок изобилен. Многообразия Фано можно считать алгебраическими многообразиями, наиболее близкими к проективному пространству. В размерности 2 каждое многообразие Фано (известное как поверхность Дель-Пеццо) над алгебраически замкнутым полем рационально. Важным открытием 1970-х годов стало то, что начиная с размерности 3, существует множество многообразий Фано, которые не являются рациональными. В частности, гладкие кубические трехмерные многообразия не являются рациональными (по результатам Клеменса и Гриффитса, 1972), а гладкие квартические трехмерные многообразия не являются рациональными (по результатам Исковских и Манина, 1971). Тем не менее, проблема точного определения того, какие многообразия Фано являются рациональными, далека от решения. Например, неизвестно, существует ли гладкая кубическая гиперповерхность в с n ≥ 4, которая не является рациональной.

Приложения

Бирациональная геометрия нашла применение в других областях геометрии, но особенно в традиционных задачах алгебраической геометрии. Наиболее известна программа минимальных моделей, использованная Яношем Колларом и Николасом Шепардом Барроном для построения модульных пространств многообразий общего типа, теперь известных как пространства модулей KSB. В последнее время бирациональная геометрия нашла важные применения в изучении K-стабильности многообразий Фано посредством общих результатов существования метрик Кэлера — Эйнштейна, в разработке явных инвариантов многообразий Фано для проверки K-стабильности путем вычислений на бирациональных моделях и в построении пространств модулей многообразий Фано. Важные результаты в бирациональной геометрии, такие как доказательство Биркара об ограниченности многообразий Фано, были использованы для доказательства результатов существования пространств модулей.