Кіріспе
Фундаменталды топты екі ашық, жолмен байланысты қосалқы кеңістіктермен жабу арқылы сипаттайды. Математикада алгебралық топологияның Сейферт-Ван Кампен теоремасы (Герберт Сейферт және Эгберт ван Кампеннің есімдерімен аталған), кейде жай ғана Ван Кампен теоремасы деп аталады, топологиялық кеңістіктің фундаменталды тобының құрылымын екі ашық, жолмен байланысты қосалқы кеңістіктердің фундаменталды топтары тұрғысынан көрсетеді. Сондықтан, оны қарапайым кеңістіктерден құралған кеңістіктердің фундаменталды тобын есептеу үшін пайдалануға болады.
In mathematics, the Seifert–Van Kampen theorem of algebraic topology (named after Herbert Seifert and Egbert van Kampen), sometimes just called Van Kampen's theorem, expresses the structure of the fundamental group of a topological space in terms of the fundamental groups of two open, path connected subspaces that cover It can therefore be used for computations of the fundamental group of spaces that are constructed out of simpler ones.
Ван Кампеннің фундаменталды топтар теоремасы
X екі ашық және жолмен байланысқан U1, U2 қосалқы кеңістіктерінің бірігуі болып табылатын топологиялық кеңістік болсын. U1 ∩ U2 жолы байланысқан және бос емес деп есептеңіз, ал x0 нүктесі U1 ∩ U2 жиынында орналасқан және ол барлық негізгі топтардың негізі ретінде қолданылады. U1 және U2 кеңістіктерін X-ке енгізу карталары топтық гомоморфизмдерді тудырады, содан кейін X жолмен байланысты және келесі түрткі диаграммасы коммутативті болады:
Табиғи морфизм k – изоморфизм. Яғни, X-тің негізгі тобы U1 және U2 негізгі топтарының еркін қосындысы болып табылады, олар U1 ∩ U2 негізгі тобы бойынша біріктірілген. Көбінесе, осы теоремада енгізу арқылы туындаған морфизмдер өзі инъективті емес, ал теореманың дәлірек формулировкасы топтардың түрткілері түрінде беріледі.
Usually the morphisms induced by inclusion in this theorem are not themselves injective, and the more precise version of the statement is in terms of pushouts of groups.
2-сфера
Ван Кампен теоремасын қарапайым кеңістіктерге жіктеуге болатын топологиялық кеңістіктердің фундаменталдық топтарын есептеу үшін қолдануға болады. Мысалы, сфераны қарастырайық және n және s сәйкесінше солтүстік және оңтүстік полюстерді білдірсін. Содан кейін A, B және A ∩ B ашық, жолмен байланысқан жиындар екендігін байқаймыз. Осылайша, A ∩ B-ні A және B-ге енгізетін коммутативтік диаграмма бар, содан кейін A және B-ден сфераға енгізілетін диаграмма бар, және әрбір ішкі кеңістіктің фундаменталдық тобы арасындағы гомоморфизмдердің сәйкес диаграммасы бар екенін көреміз. Ван Кампен теоремасын қолдану нәтижесінде A және B екеуі де R²-ге гомеоморфты, ол жай байланысқан, сондықтан A және B екеуінің де тривиальды фундаменталдық тобы бар. Осыдан сфераның фундаменталдық тобы тривиальды екендігі анық көрінеді.
However, A and B are both homeomorphic to R2 which is simply connected, so both A and B have trivial fundamental groups. It is clear from this that the fundamental group of is trivial.
Қарапайым байланысу
Егер X кеңістігі екі ашық, қарапайым байланысқан U және V жиындарының U ∩ V бос емес және жолмен байланысқан қосылысы ретінде жазылатын болса, онда X қарапайым байланысқан.
Жалпылау
Жоғарыда түсіндірілгендей, бұл теорема Рональд Браун тарапынан негіздік нүктелердің A жиынындағы фундаменталды группоидты қолдану арқылы байланыссыз жағдайға дейін кеңейтілді. A жиыны қақпақтың жиынтықтарының барлық үштік қиылыстарын қамтиды деген шектеумен, кез келген қақпақтар үшін теорема Браун мен Абдул Разак Саллехтың мақаласында келтірілген. Фундаменталды топтың теоремасы мен дәлелі, бірақ кейбір группоидтық әдістерді пайдалану арқылы, Дж. Питер Мейдің кітабында да берілген. А жиыны жеке жиын болса, бірақ екіден астам бір-бірімен қиылысатын жиынға рұқсат беретін нұсқасы Ален Хатчердің төмендегі кітабында, 1.20 теоремасында да келтірілген. Негізгі группоидтың Джордан қисық теоремасына, қаптамалық кеңістіктерге және орбиталық кеңістіктерге қолданылуы Рональд Браунның кітабында берілген. Орбиталық кеңістіктер жағдайында, әрекеттің барлық бекітілген нүктелерін қамту үшін A жиынын қабылдау ыңғайлы. Мысалы, шеңбердегі конъюгация әрекеті. Гомотопиялық түрлер туралы ақпарат беретін теореманың жоғары өлшемді нұсқаларына сілтемелер жоғары өлшемді топтар теориясы және группоидтар туралы мақалада келтірілген. Осылайша, Рональд Браун мен Филип Дж. Хиггинс 2 өлшемді Ван Кампен теоремасын берді. Браун, Хиггинс және Рафаэль Сивера барлық өлшемдерге толық есеп пен кеңейтуді ұсынады, ал Рональд Браун мен Жан Луис Лодей n кеңістік кубтарына кеңейтуді ұсынады. Фундаменталды топтар сонымен қатар алгебралық геометрияда кездеседі және Александр Гротендиктің бірінші алгебралық геометрия семинарының (SGA1) басты тақырыбы болып табылады. Теореманың нұсқасы онда келтірілген және алгебралық топологиядағыдан мүлдем басқа тәсілмен, атап айтқанда, түсіру теориясы арқылы дәлелденген. Осыған ұқсас дәлелдеу алгебралық топологияда да қолданылады.