Введение

Описывает фундаментальную группу через покрытие двумя открытыми, пути-связными подпространствами. В математике теорема Зейферта — ван Кампена из алгебраической топологии (названа в честь Герберта Зейферта и Эгберта ван Кампена), иногда называемая просто теоремой ван Кампена, выражает структуру фундаментальной группы топологического пространства в терминах фундаментальных групп двух открытых, пути-связных подпространств, которые покрывают это пространство. Таким образом, её можно использовать для вычисления фундаментальной группы пространств, построенных из более простых.

Теорема Ван Кампена для фундаментальных групп

Пусть X — топологическое пространство, являющееся объединением двух открытых и связных по пути подпространств U1 и U2. Предположим, что U1 ∩ U2 связно по пути и непусто, и пусть x0 — точка в U1 ∩ U2, которая будет использоваться в качестве базовой для всех фундаментальных групп. Отображения включения U1 и U2 в X индуцируют групповые гомоморфизмы φ₁ и φ₂. Тогда X связно по пути, и φ₁ и φ₂ образуют коммутативную диаграмму выталкивания:

Естественный морфизм k является изоморфизмом. То есть, фундаментальная группа X является свободным произведением фундаментальных групп U1 и U2 с аффинным объединением по π₁(U1 ∩ U2). Обычно морфизмы, индуцированные включениями в этой теореме, сами по себе не являются инъективными, и более точная формулировка утверждения выражается в терминах выталкиваний групп.

2-сфера

Можно использовать теорему Ван Кампена для вычисления фундаментальных групп топологических пространств, которые можно разложить на более простые пространства. Например, рассмотрим сферу. Выберем открытые множества A и B, где n и s обозначают соответственно северный и южный полюсы. Тогда у нас есть свойство, что A, B и A ∩ B являются открытыми связными множествами. Таким образом, мы можем видеть, что существует коммутативная диаграмма, включающая A ∩ B в A и B, а затем другое включение из A и B в сферу, и что существует соответствующая диаграмма гомоморфизмов между фундаментальными группами каждого подпространства. Применение теоремы Ван Кампена дает следующий результат.

Однако, A и B оба гомеоморфны R², который просто связен, поэтому и A, и B имеют тривиальные фундаментальные группы. Из этого ясно, что фундаментальная группа сферы тривиальна.

Простая связь

Если X – пространство, которое можно представить в виде объединения двух открытых, просто связных множеств U и V, таких что пересечение U и V не пусто и является путем связным, то X просто связно.

Обобщения

Как объяснено выше, эта теорема была расширена Рональдом Брауном на несвязный случай с использованием фундаментального группоида на множестве базовых точек A. Теорема для произвольных покрытий, с ограничением, что A пересекает все тройные пересечения множеств покрытия, приведена в статье Брауна и Абдул Разака Саллеха. Теорема и доказательство для фундаментальной группы, но с использованием некоторых группоидных методов, также приведены в книге Дж. Питера Мэя. Версия, допускающая более двух перекрывающихся множеств, но при этом A является синглетоном, также приведена в книге Аллена Хэтчера ниже, теорема 1.20. Применение фундаментального группоида на множестве базовых точек к теореме Жордана о кривой, покрывающим пространствам и орбитальным пространствам приведено в книге Рональда Брауна. В случае орбитальных пространств удобно выбирать A так, чтобы оно включало все фиксированные точки действия. Примером здесь является действие сопряжения на окружности. Ссылки на многомерные версии теоремы, дающие некоторую информацию о типах гомотопии, приведены в статье о многомерных теориях групп и группоидах. Таким образом, двухмерная теорема Ван Кампена, вычисляющая неабелевы вторые относительные гомотопические группы, была получена Рональдом Брауном и Филиппом Хиггинсом. Полное изложение и обобщения на все измерения даны Брауном, Хиггинсом и Рафаэлем Сиверой, а обобщение на n-кубы пространств – Рональдом Брауном и Жаном-Луи Лоде. Фундаментальные группы также встречаются в алгебраической геометрии и являются основной темой первого семинара Александра Гротендика по алгебраической геометрии (SGA1). Там появляется версия теоремы Ван Кампена, которая доказывается совершенно иным способом, чем в алгебраической топологии, а именно с помощью теории спусков. Аналогичное доказательство работает и в алгебраической топологии.