Кіріспе
Геометриядағы жалпыланған масштабтау операциясы
Математикада гомотетия (немесе гомотеция, немесе гомогендік кеңейту) – бұл S нүктесі деп аталатын орталық және нөлден өзгеше қатынас деп аталатын сан арқылы анықталатын аффиндік кеңістіктің трансформациясы, ол нүктеге нүктені тұрақты санның ережесі бойынша жібереді: . Орындық векторларды қолдану арқылы: (Origin) жағдайында: , бұл біркелкі масштабтау және қатынас үшін ерекше таңдаудың мағынасын көрсетеді: егер үшін сәйкестік бейнелеу алынады, егер үшін ортадағы шағылысу алынады, ал егер үшін кері бейнелеу анықталады. Евклидтік геометрияда гомотетиялар – бұл бір нүктені бекітетін және барлық векторлардың бағытын сақтайтын (егер ) немесе кері (егер ) ұқсастықтар болып табылады. Трансляциялармен бірге аффиндік (немесе Евклидтік) кеңістіктің барлық гомотетиялары топты құрайды, бұл дилатациялар немесе гомотетиялық трансляциялар тобы. Бұл әрбір түзудің g-ге параллель түзу болып табылатын бейнесіне ие аффиндік трансформациялардың нақты түрі.
for a fixed number Using position vectors: In case of (Origin):
,
which is a uniform scaling and shows the meaning of special choices for :
for one gets the identity mapping,
for one gets the reflection at the center,
For one gets the inverse mapping defined by
In Euclidean geometry homotheties are the similarities that fix a point and either preserve (if ) or reverse (if ) the direction of all vectors. Together with the translations, all homotheties of an affine (or Euclidean) space form a group, the group of dilations or homothety translations. These are precisely the affine transformations with the property that the image of every line g is a line parallel to g.
Проективтік геометрияда гомотетиялық трансформация – бұл ұқсастық трансформациясы (яғни, берілген эллиптік инволюцияны сақтайды), ол шексіздіктегі түзуді өзгеріссіз қалдырады. Евклидтік геометрияда қатынасы гомотетиясы нүктелер арасындағы қашықтықты , ауданды және көлемді көбейтеді. Мұнда қатынас – бұл ұлғайту немесе кеңейту коэффициенті немесе масштаб коэффициенті немесе ұқсастық коэффициенті. Егер масштаб коэффициенті 1-ден жоғары болса, мұндай трансформацияны кеңейту деп атауға болады. Жоғарыда аталған S тұрақты нүктесі гомотетиялық орталық немесе ұқсастық орталығы немесе ұқсастық центрі деп аталады. Француз математигі Мишель Часльс ұсынған термин грек тіліндегі екі элементтен тұрады: «ұқсас» дегенді білдіретін homo (όμο) және «орналасу» дегенді білдіретін thesis (Θέσις). Ол бірдей пішін мен бағыт-бағдардағы екі фигура арасындағы қатынасты сипаттайды. Мысалы, бір бағытқа қарап тұрған екі орыс қуыршағы гомотетикалық деп есептелуі мүмкін. Гомотетиялар компьютер экранының мазмұнын масштабтау үшін қолданылады; мысалы, смартфондар, ноутбуктер және жеке компьютерлер.
Қасиеттері
Келесі қасиеттер кез келген өлшемде орындалады.
қиылысу теоремасы арқылы
Егер ортасы бар гомотетия үшін нүктенің бейнесі берілген болса (суретті қараңыз), онда түзуде жатпайтын екінші нүктенің бейнесі қиылысу теоремасы арқылы графикалық түрде салынуы мүмкін: – екі түзудің ортақ нүктесі. Түзумен бір түзу бойында жатқан нүктенің бейнесі арқылы анықталуы мүмкін.