Введение
Обобщенное масштабирование в геометрии
В математике гомотетия (или гомотезия, или однородное расширение) — это преобразование аффинного пространства, определяемое точкой S, называемой её центром, и ненулевым числом, называемым её коэффициентом, которое отображает точку в точку по правилу для фиксированного числа. Используя векторы положения: в случае (начала координат): , что является равномерным масштабированием и показывает смысл специальных выборов для : при получается тождественное отображение, при — отражение относительно центра, при — обратное отображение, определяемое . В евклидовой геометрии гомотетии — это подобия, которые фиксируют точку и сохраняют (если ) или изменяют на противоположный (если ) направление всех векторов. Вместе с трансляциями все гомотетии аффинного (или евклидова) пространства образуют группу, группу дилатаций или гомотетических трансляций. Это именно аффинные преобразования, обладающие свойством, что образ каждой прямой g является прямой, параллельной g.
for a fixed number Using position vectors: In case of (Origin):
,
which is a uniform scaling and shows the meaning of special choices for :
for one gets the identity mapping,
for one gets the reflection at the center,
For one gets the inverse mapping defined by
In Euclidean geometry homotheties are the similarities that fix a point and either preserve (if ) or reverse (if ) the direction of all vectors. Together with the translations, all homotheties of an affine (or Euclidean) space form a group, the group of dilations or homothety translations. These are precisely the affine transformations with the property that the image of every line g is a line parallel to g.
В проективной геометрии гомотетическое преобразование — это преобразование подобия (т.е. фиксирует данную эллиптическую инволюцию), которое оставляет прямую на бесконечности точечно инвариантной. В евклидовой геометрии гомотетия с коэффициентом умножает расстояния между точками на , площади на и объемы на . Здесь — коэффициент увеличения, коэффициент расширения, масштабный коэффициент или коэффициент подобия. Такое преобразование можно назвать увеличением, если масштабный коэффициент превышает 1. Вышеупомянутая фиксированная точка S называется гомотетическим центром или центром подобия. Термин, введенный французским математиком Мишелем Часлем, происходит от двух греческих элементов: приставки homo (όμο), означающей «подобный», и thesis (Θέσις), означающей «положение». Он описывает связь между двумя фигурами одинаковой формы и ориентации. Например, две русские матрешки, смотрящие в одном направлении, можно считать гомотетическими. Гомотетии используются для масштабирования содержимого экранов компьютеров, например, смартфонов, ноутбуков и лэптопов.
Свойства
Следующие свойства выполняются в любом измерении.
с помощью теоремы пересечения
Если для гомотетии с центром задано изображение точки (см. диаграмму), то изображение второй точки , не лежащей на прямой , может быть построено графически с использованием теоремы о перехватах: является точкой пересечения двух прямых и . Изображение точки, лежащей на одной прямой с , можно определить с помощью .