Кіріспе
Математикада, әсіресе сызықтық алгебрада, флаг – шекті өлшемді векторлық кеңістік V-тің субкеңістіктерінің өсу тізбегі. Мұнда "өсу" дегеніміз – әрқайсысы келесісінің нақты субкеңістігі (фильтрацияны қараңыз). Флаг термині флагқа ұқсайтын нақты мысалмен түрткілендіріледі: нөлдік нүкте, түзу және жазықтық сәйкесінше шегеге, таяққа және мата парасына ұқсайды. Егер dimVi = di деп жазсақ, онда
The term flag is motivated by a particular example resembling a flag: the zero point, a line, and a plane correspond to a nail, a staff, and a sheet of fabric. If we write that dimVi = di then we have
where n is the dimension of V (assumed to be finite). Hence, we must have k ≤ n. A flag is called a complete flag if di = i for all i, otherwise it is called a partial flag. A partial flag can be obtained from a complete flag by deleting some of the subspaces. Conversely, any partial flag can be completed (in many different ways) by inserting suitable subspaces. The signature of the flag is the sequence (d1, , dk).
мұнда n – V-тің өлшемділігі (шекті деп есептелінеді). Сондықтан k ≤ n болуы керек. Егер барлық i үшін di = i болса, онда бұл толық флаг деп аталады, әйтпесе – ішінара флаг деп аталады. Ішінара флагты толық флагтан кейбір субкеңістіктерді алып тастау арқылы алуға болады. Керісінше, кез келген ішінара флагты (көптеген түрлі жолдармен) тиісті субкеңістіктерді қосу арқылы толықтыруға болады. Флагтың қолтаңбасы – (d1, …, dk) тізбегі.
The term flag is motivated by a particular example resembling a flag: the zero point, a line, and a plane correspond to a nail, a staff, and a sheet of fabric. If we write that dimVi = di then we have
where n is the dimension of V (assumed to be finite). Hence, we must have k ≤ n. A flag is called a complete flag if di = i for all i, otherwise it is called a partial flag. A partial flag can be obtained from a complete flag by deleting some of the subspaces. Conversely, any partial flag can be completed (in many different ways) by inserting suitable subspaces. The signature of the flag is the sequence (d1, , dk).
Негізгі
V-ге арналған реттелген негіз V0 ⊂ V1 ⊂ … ⊂ Vk жалаушасына бейімделген деп айтылады, егер бірінші di негіз векторлары әр 0 ≤ i ≤ k үшін Vi үшін негіз құраса. Сызықтық алгебрадан стандартты аргументтер кез келген жалаушаның бейімделген негізі болатынын көрсетеді. Кез келген реттелген негіз, Vi-ді бірінші i негіз векторларының жайылған кеңістігі ретінде алып, толық жалауша тудырады. Мысалы, Rn-дегі жалауша стандартты негізден (e1, …, en) туындайды, мұнда ei векторының i-інші жазылымында 1 және қалғандары 0 болады. Нақтырақ айтқанда, стандартты жалауша – бұл кіші кеңістіктердің тізбегі: бейімделген негіз көбінесе бірегей болмайды (қарсы мысалдар тривиалды); төменде қараңыз. Ішкі көбейтінді кеңістігіндегі толық жалаушаның дерлік бірегей ортонормалды негізі болады: ол әрбір векторды бірлікке (бірлік ұзындығы бар скаляр, мысалы, 1, -1, i) көбейтуге дейін бірегей. Мұндай негізді Грам-Шмидт процесін қолдану арқылы құрастыруға болады. Бірліктерге дейінгі бірегейлік индуктивті түрде келесідей дәлелденеді: вектор бір өлшемді кеңістікте жатады. Көбірек абстракциялы түрде, ол максималды тордың әрекетіне дейін бірегей: жалауша Борель тобына сәйкес келеді, ал ішкі көбейтінді максималды ықшам кіші топқа сәйкес келеді.
An adapted basis is almost never unique (the counterexamples are trivial); see below. A complete flag on an inner product space has an essentially unique orthonormal basis: it is unique up to multiplying each vector by a unit (scalar of unit length, e. g. 1, −1, i). Such a basis can be constructed using the Gram Schmidt process. The uniqueness up to units follows inductively, by noting that lies in the one dimensional space
More abstractly, it is unique up to an action of the maximal torus: the flag corresponds to the Borel group, and the inner product corresponds to the maximal compact subgroup.
Тұрақтандырушы
Стандартты жалаушаның тұрақтандырушы кіші тобы – кері өрнекті жоғары үшбұрышты матрицалар тобы. Жалпы алғанда, жалаушаның тұрақтандырғышы (V-дегі сызықтық операторлар, барлық i үшін орындалатындай) матрицалық тұрғыдан қарағанда, блоктық жоғары үшбұрышты матрицалар алгебрасы болып табылады (жалаушаға бейімделген негізге қатысты), мұнда блоктардың өлшемдері... Толық жалаушаның тұрақтандырушы кіші тобы – жалаушаға бейімделген кез келген негізге қатысты кері өрнекті жоғары үшбұрышты матрицалар жиынтығы. Мұндай негізге қатысты төменгі үшбұрышты матрицалардың кіші тобы осы негізге байланысты, сондықтан оны тек жалауша арқылы сипаттау мүмкін емес. Кез келген толық жалаушаның тұрақтандырушы кіші тобы – Борель кіші тобы (жалпы сызықтық топтың), ал кез келген ішінара жалаушалардың тұрақтандырғышы – параболалық кіші топ. Жалаушаның тұрақтандырушы кіші тобы жалаушаға бейімделген негіздерге қарапайым транзитивті әрекет етеді, сондықтан бұл негіздер тұрақтандырушы тривиалды болмаса, бірегей емес. Бұл өте ерекше жағдай: ол тек 0 өлшемді векторлық кеңістік үшін немесе 1 өлшемді векторлық кеңістік үшін (бір ғана негіз болатын, жалаушаға тәуелсіз) ғана орын алады.
Субғарыш ұясы
Функционалдық талдауда қолданылатын шексіз өлшемді кеңістік V-де флаг идеясы субкеңістіктер ұясына жалпыланады, яғни V кеңістігінің кіріктірілу бойынша толық реттелген және кез келген қиылыстар мен жабық сызықтық кеңістіктер бойынша жабық субкеңістіктер жиынтығы. Ұя алгебрасына қараңыз.
Жинақ теориясының аналогтары
Бір элементі бар өрістің тұрғысынан алғанда, жиынтықты бір элементі бар өрістегі векторлық кеңістік ретінде қарастыруға болады: бұл Коксетер топтары мен алгебралық топтар арасындағы түрлі аналогияларды формалдайды. Осы сәйкестік бойынша, жиынтықтағы реттелу максималды туға сәйкес келеді: реттелу жиынтықтың максималды сүзілуіне тең. Мысалы, сүзілу (туға) реттелуге сәйкес келеді.