Введение

В математике, особенно в линейной алгебре, флаг — это возрастающая последовательность подпространств конечномерного векторного пространства V. Здесь "возрастающая" означает, что каждое подпространство является собственным подпространством следующего (см. фильтрацию):

Термин "флаг" мотивирован конкретным примером, напоминающим флаг: точка, прямая и плоскость соответствуют гвоздю, древку и полотну. Если обозначить dimVi = di, то получим

где n — размерность V (предполагается конечной). Следовательно, должно выполняться условие k ≤ n. Флаг называется полным, если di = i для всех i, иначе он называется частичным. Частичный флаг можно получить из полного флага, удалив некоторые подпространства. Обратно, любой частичный флаг можно дополнить (многими различными способами), вставляя подходящие подпространства. Подпись флага — это последовательность (d1, …, dk).

Основания

Определенная база для V называется адаптированной к флагу V0 ⊂ V1 ⊂ … ⊂ Vk, если первые di базисных векторов образуют базис для Vi для каждого 0 ≤ i ≤ k. Стандартные аргументы из линейной алгебры показывают, что любой флаг имеет адаптированную базу. Любая упорядоченная база порождает полный флаг, определяя Vi как линейную оболочку первых i базисных векторов. Например, флаг в Rn индуцируется стандартным базисом (e1, …, en), где ei обозначает вектор с 1 в i-й координате и 0 в остальных. Конкретно, стандартный флаг – это последовательность подпространств:

Адаптированная база почти никогда не является единственной (контрпримеры тривиальны); см. ниже. Полный флаг на внутреннем произведении имеет по существу единственную ортонормальную базу: она единственна с точностью до умножения каждого вектора на единичный скаляр (скаляр единичной длины, например, 1, -1, i). Такую базу можно построить с помощью процесса Грама-Шмидта. Единственность с точностью до единичного скаляра следует индуктивно, заметив, что лежит в одномерном пространстве. Более абстрактно, она единственна с точностью до действия максимального тора: флаг соответствует группе Бореля, а внутреннее произведение – максимальной компактной подгруппе.

Стабилизатор

Подгруппой стабилизатора стандартного флага является группа обратимых верхних треугольных матриц. В более общем случае, стабилизатор флага (линейные операторы на V, такие что для всех i) в матричной форме является алгеброй блочно-верхних треугольных матриц (относительно адаптированного базиса), где размеры блоков… Подгруппа стабилизатора полного флага – это множество обратимых верхних треугольных матриц относительно любого базиса, адаптированного к этому флагу. Подгруппа нижних треугольных матриц относительно такого базиса зависит от выбора базиса и, следовательно, не может быть охарактеризована только через флаг. Подгруппа стабилизатора любого полного флага является подгруппой Бореля (общей линейной группы), а стабилизатор любого частичного флага – подгруппой параболического типа. Подгруппа стабилизатора флага действует просто транзитивно на адаптированных базисах для этого флага, и, следовательно, эти базисы не уникальны, если стабилизатор не является тривиальным. Это весьма исключительная ситуация: она возникает только для векторного пространства размерности 0 или для векторного пространства над полем размерности 1 (а именно, в тех случаях, когда существует только один базис, независимо от какого-либо флага).

Подпространственное гнездо

В бесконечномерном пространстве V, используемом в функциональном анализе, идея флага обобщается до семейства подпространств, упорядоченного по включению, которое замкнуто относительно произвольных пересечений и замкнутых линейных оболочек. См. алгебру гнезд.

Аналоги теории множеств

С точки зрения поля с одним элементом, множество можно рассматривать как векторное пространство над полем с одним элементом: это формализует различные аналогии между группами Коксетера и алгебраическими группами. В соответствии с этим соответствием, упорядочение множества соответствует максимальному флагу: упорядочение эквивалентно максимальной фильтрации множества. Например, фильтрация (флаг) соответствует упорядочению .