Квадраттық жорамалдар және бірегей жіктелу салалары

Кіріспе

Бірегей факторлануы бар квадратты қиял сандар өрістері. Сандар теориясында Хегнер теоремасы бүтін сандар сақиналары негізгі идеалдық домендер болатын квадратты қиял сандар өрістерінің толық тізімін анықтайды. Ол, берілген белгілі сынып санына ие қиял квадраттық өрістердің санын анықтаудың Гаусс сынып саны мәселесінің ерекше жағдайын шешеді. 'Q' рационалдық сандар жиынын белгілейді, ал d квадратсыз бүтін сан болсын. Бұл өріс 'Q' -ның квадраттық кеңейтімі болып табылады. -ның сынып саны бірге тең, тек қана егер -ның бүтін сандар сақинасы негізгі идеалдық домен болса. Бейкер–Хегнер–Старк теоремасын былай тұжырымдауға болады:

Егер d < 0 болса, онда -ның сынып саны бірге тең, тек қана егер.
Бұлар Хегнер сандары деп аталады. d-ны -ның дискриминанты D-мен алмастыру арқылы бұл тізім көбінесе былай жазылады:

Тарих

Бұл нәтижені Гаусс алғаш рет 1798 жылғы "Disquisitiones Arithmeticae" еңбегінің 303-бөлімінде болжаған. Оны негізінен Курт Хегнер 1952 жылы дәлелдеді, бірақ Хегнердің дәлелі 1967 жылы математик Гарольд Старк оны қайта жазғанға дейін қабылданбады. Бұл жұмыс Хегнердің еңбегімен көп ортақ нәрселері болғанымен, Старк оларды екі түрлі дәлелдеме деп санады. Хегнер "ешкім оның не істегенін толық түсінбей қайтыс болды". Старк 1969 жылы Хегнердің дәлелін ресми түрде қайта баяндады (сол кездегі басқа мақалаларда модульдік функциялар арқылы ұқсас дәлелдемелер жарияланды). Алан Бейкер Старк жұмысынан сәл ертерек, 1966 жылы мүлдем басқа дәлел келтірді (немесе дәлірек айтқанда, Бейкер нәтижені шектеулі есептеулерге келтірді, ал Старк 1963/64 жылғы диссертациясында осы есептеулерді жүзеге асырды) және өзінің әдістері үшін Филдс медалін жеңіп алды. Кейін Старк Бейкердің 3 логарифмдегі сызықтық формаларды қолданатын дәлелін тек 2 логарифмге дейін қысқартуға болатынын көрсетті, ал бұл нәтиже 1949 жылдан бері Гелфонд пен Линникке белгілі болған. Старк 1969 жылғы мақаласында Генрих Мартин Вебердің 1895 жылғы еңбегіне де сілтеме жасап, Вебер егер "[бір белгілі теңдеудің] түйінделуі Диофанти теңдеуіне алып келетінін байқағанда, сынып саны бірге тең болатын мәселе 60 жыл бұрын шешілген болар еді" деген пікірді білдірді. Брайан Бирч Вебердің кітабының және модульдік функциялар саласының жарты ғасыр бойы қызығушылықты жоғалтқанын атап өтті: "Өкінішке орай, 1952 жылы Хегнердің жетістіктерін бағалай алатын Вебердің алгебрасын жетік білетін адам қалмады". Деюринг, Сигель және Чоула Старк жұмысынан кейінгі жылдары модульдік функциялар арқылы сәл өзгеше дәлелдемелер ұсынды. Осы сияқты басқа да нұсқалар жылдар бойы пайда болды. Мысалы, 1985 жылы Монсур Кенку Клейн квартикасын қолдана отырып (бірақ модульдік функцияларды да пайдалана отырып) дәлел келтірді. 1999 жылы Имин Чен модульдік функциялар арқылы тағы бір нұсқаны ұсынды (Сигельдің жоспары бойынша). Грос пен Загиердің (1986) және Голдфельдтің (1976) жұмыстары да баламалы дәлелдемелер береді.

This result was first conjectured by Gauss in Section 303 of his Disquisitiones Arithmeticae (1798). It was essentially proven by Kurt Heegner in 1952, but Heegner's proof was not accepted until an establishment mathematician Harold Stark rewrote the proof in 1967, which had many commonalities to Heegner's work, but sufficiently many differences that Stark considers the proofs to be different. Heegner "died before anyone really understood what he had done". Stark formally paraphrases Heegner's proof in 1969 (other contemporary papers produced various similar proofs by modular functions. Alan Baker gave a completely different proof slightly earlier (1966) than Stark's work (or more precisely Baker reduced the result to a finite amount of computation, with Stark's work in his 1963/4 thesis already providing this computation), and won the Fields Medal for his methods. Stark later pointed out that Baker's proof, involving linear forms in 3 logarithms, could be reduced to only 2 logarithms, when the result was already known from 1949 by Gelfond and Linnik. Stark's 1969 paper also cited the 1895 text by Heinrich Martin Weber and noted that if Weber had "only made the observation that the reducibility of [a certain equation] would lead to a Diophantine equation, the class number one problem would have been solved 60 years ago". Bryan Birch notes that Weber's book, and essentially the whole field of modular functions, dropped out of interest for half a century: "Unhappily, in 1952 there was no one left who was sufficiently expert in Weber's Algebra to appreciate Heegner's achievement." Deuring, Siegel, and Chowla all gave slightly variant proofs by modular functions in the immediate years after Stark. Other versions in this genre have also cropped up over the years. For instance, in 1985, Monsur Kenku gave a proof using the Klein quartic (though again utilizing modular functions). And again, in 1999, Imin Chen gave another variant proof by modular functions (following Siegel's outline). The work of Gross and Zagier (1986) combined with that of Goldfeld (1976) also gives an alternative proof.

Нақты оқиға

Екінші жағынан, Q-ның сынып саны 1-ге тең болатын d > 0 сандарының шексіз көп болуы белгісіз. Есептеу нәтижелері мұндай өрістердің көп екенін көрсетеді. Бірінші сыныпты сандық өрістер осылардың кейбірін тізімдейді.