Введение

Квадратные воображаемые числовые поля с однозначной факторизацией
В теории чисел теорема Хегнера устанавливает полный список квадратных воображаемых числовых полей, кольца целых чисел которых являются областями главных идеалов. Она решает частный случай проблемы о классовом числе Гаусса, заключающегося в определении количества воображаемых квадратных полей с заданным фиксированным классовым числом. Пусть 'Q' обозначает множество рациональных чисел, а d – целое число, свободное от квадратов. Поле является квадратичным расширением 'Q'. Классовое число равно единице тогда и только тогда, когда кольцо целых чисел является областью главных идеалов. Теорему Бейкера — Хегнера — Старка можно сформулировать следующим образом:

Если d < 0, то классовое число равно единице тогда и только тогда, если
Эти числа известны как числа Хегнера. Заменяя d дискриминантом D, этот список часто записывается как:

История

Этот результат был впервые предположен Гауссом в разделе 303 его Disquisitiones Arithmeticae (1798). Он был по существу доказан Куртом Хегнером в 1952 году, но доказательство Хегнера не было принято, пока математик Гарольд Старк не переписал его в 1967 году. Это доказательство имело много общего с работой Хегнера, но содержало достаточно различий, чтобы Старк считал их разными. Хегнер "умер, прежде чем кто-либо по-настоящему понял, что он сделал". Старк формально перефразировал доказательство Хегнера в 1969 году (другие современные работы предлагали различные аналогичные доказательства с использованием модулярных функций). Алан Бейкер представил совершенно другое доказательство чуть раньше (1966), чем работа Старка (или, точнее, Бейкер свёл результат к конечному числу вычислений, которые уже были выполнены в диссертации Старка 1963/4), и получил медаль Филдса за свои методы. Старк позже отметил, что доказательство Бейкера, использующее линейные формы в 3 логарифмах, можно упростить до 2 логарифмов, поскольку результат был уже известен с 1949 года Гельфонду и Линнику. В статье Старка 1969 года также цитируется работа Генриха Мартина Вебера 1895 года, в которой отмечается, что если бы Вебер "лишь заметил, что разложимость [определённого уравнения] приведёт к диофантовому уравнению, то проблема о классе единиц была бы решена 60 лет назад". Брайан Бирч отмечает, что книга Вебера и, по сути, вся область модулярных функций потеряли интерес на полвека: "К несчастью, к 1952 году не осталось никого, кто достаточно хорошо разбирался бы в алгебре Вебера, чтобы оценить достижение Хегнера". Дюринг, Сигель и Чоула представили несколько различных доказательств с использованием модулярных функций сразу после работы Старка. За прошедшие годы появилось множество других подобных доказательств. Например, в 1985 году Монсур Кенку предложил доказательство с использованием квартика Клейна (опять же, используя модулярные функции). А в 1999 году Имин Чен представил ещё одно вариантное доказательство с использованием модулярных функций (по схеме Сигеля). Работа Гросса и Загиера (1986) в сочетании с работой Голдфельда (1976) также даёт альтернативное доказательство.

Реальный случай

С другой стороны, неизвестно, существует ли бесконечно много d > 0, для которых поле Q имеет число класса 1. Вычислительные результаты указывают на то, что таких полей много. Книга «Поля с числом класса один» содержит список некоторых из них.