Введение

Геометрическое преобразование, сохраняющее прямые, но не углы и начало координат.

В евклидовой геометрии аффинное преобразование или аффинность (от латинского *affinis* — «связанный с») — это геометрическое преобразование, сохраняющее прямые и параллельность, но не обязательно евклидовы расстояния и углы. В более общем смысле, аффинное преобразование — это автоморфизм аффинного пространства (евклидово пространство является частным случаем аффинного пространства), то есть функция, отображающая аффинное пространство на себя, сохраняя при этом как размерность любых аффинных подпространств (то есть переводит точки в точки, линии в линии, плоскости в плоскости и так далее), так и отношения длин параллельных отрезков. Следовательно, множества параллельных аффинных подпространств остаются параллельными после аффинного преобразования. Аффинное преобразование не обязательно сохраняет углы между прямыми или расстояния между точками, хотя оно сохраняет отношения расстояний между точками, лежащими на одной прямой. Если *X* — это множество точек аффинного пространства, то любое аффинное преобразование на *X* можно представить как композицию линейного преобразования на *X* и сдвига *X*. В отличие от чисто линейного преобразования, аффинное преобразование не обязано сохранять начало координат аффинного пространства. Таким образом, любое линейное преобразование является аффинным, но не любое аффинное преобразование является линейным. Примеры аффинных преобразований включают сдвиг (трансляцию), масштабирование, гомотетию, подобие, отражение, вращение, сдвиг (shear mapping) и композиции этих преобразований в любой комбинации и последовательности. Рассматривая аффинное пространство как дополнение гиперплоскости на бесконечности проективного пространства, аффинные преобразования являются проективными преобразованиями этого проективного пространства, оставляющими гиперплоскость на бесконечности инвариантной и ограниченными дополнением этой гиперплоскости. Обобщением аффинного преобразования является аффинное отображение (или аффинный гомоморфизм) между двумя (потенциально различными) аффинными пространствами над одним полем *k*. Пусть (*X*, *V*, *k*) и (*Z*, *W*, *k*) — два аффинных пространства, где *X* и *Z* — множества точек, а *V* и *W* — соответствующие ассоциированные векторные пространства над полем *k*. Отображение *f*: *X* → *Z* является аффинным отображением, если существует линейное отображение *mf*: *V* → *W* такое, что *f*(*x*) − *f*(*y*) = *mf*(*x* − *y*) для всех *x*, *y* из *X*.

Представительство

Как показано выше, аффинное преобразование является композицией двух функций: сдвига и линейного преобразования. Обычная векторная алгебра использует матричное умножение для представления линейных преобразований и векторное сложение для представления сдвигов. Формально, в конечномерном случае, если линейное преобразование представлено умножением на невырожденную матрицу, а сдвиг – сложением вектора, то аффинное преобразование, действующее на вектор, может быть представлено как

Группы

Поскольку аффинное преобразование обратимо, квадратная матрица, фигурирующая в его матричном представлении, также обратима. Матричное представление обратного преобразования, таким образом, имеет вид:

Обратимые аффинные преобразования (аффинного пространства на себя) образуют аффинную группу, которая имеет общую линейную группу степени *n* в качестве подгруппы и сама является подгруппой общей линейной группы степени *n+1*. Трансформации подобия образуют подгруппу, где матрица преобразования представляет собой скаляр, умноженный на ортогональную матрицу. Например, если аффинное преобразование действует на плоскости и если определитель матрицы преобразования равен 1 или −1, то преобразование является эквиареальным отображением. Такие преобразования образуют подгруппу, называемую эквиаффинной группой. Преобразование, которое является эквиаффинным и преобразованием подобия, является изометрией плоскости с евклидовой метрикой. Каждая из этих групп имеет подгруппу, сохраняющую ориентацию, или положительных аффинных преобразований: тех, у которых определитель матрицы преобразования положителен. В последнем случае, в 3D, это группа жестких преобразований (собственных вращений и чистых сдвигов). Если существует фиксированная точка, можно принять её за начало координат, и аффинное преобразование сводится к линейному преобразованию. Это может упростить классификацию и понимание преобразования. Например, описание преобразования как вращения на определенный угол вокруг определенной оси может дать более ясное представление об общем поведении преобразования, чем описание его как комбинации сдвига и вращения. Однако это зависит от области применения и контекста.

История

Слово "аффинный" как математический термин определяется в связи с касательными к кривым в "Introductio in analysin infinitorum" Эйлера 1748 года. Феликс Клейн приписывает термин "аффинное преобразование" Мёбиусу и Гауссу.

Аффиновые деформации

Аффинное преобразование сохраняет параллельные линии. Однако растяжение и сдвиг искажают формы, как показывает следующий пример:

Это пример искажения изображения. Однако аффинные преобразования не позволяют осуществлять проекцию на криволинейную поверхность или корректировать радиальные искажения.

По сравнению с реальными числами

Функции с и в и являются аффинными преобразованиями действительной прямой.