Кіріспе
Инвертирленетін n×n матрицалар тобының кіші тобы. Математикада, сызықтық алгебралық топ – полиномдық теңдеулермен анықталатын инвертирленетін матрицалар тобының кіші тобы (матрица көбейту бойынша). Мысал ретінде ортогоналды топты келтіруге болады, ол шарт арқылы анықталады, мұнда – матрицасының транспозы. Көптеген Ли топтарын нақты немесе кешенді сандар өрісіндегі сызықтық алгебралық топтар ретінде қарастыруға болады. (Мысалы, кез келген компактты Ли тобын R-дегі сызықтық алгебралық топ ретінде қарастыруға болады (қажетті түрде R анизотропты және редуктивті), сондай-ақ SL(n,R) сияқты көптеген компактты емес топтар да осыған жатады). Қарапайым Ли топтарын Вильгельм Киллинг және Эли Картан 1880 және 1890 жылдары жіктеген. Сол кезде топ құрылымын полиномдар арқылы анықтауға болатындығы, яғни бұл алгебралық топтар екендігі туралы ерекше назар аударуға болмады. Алгебралық топтар теориясының негізін қалаушылар Маурер, Шевалье және 1950 жылдары Арман Борель алгебралық топтар теориясының қазіргі күйіндегі көп бөлігін құрастырды. Теорияның алғашқы қолданылуларының бірі – Шевалье топтарын анықтау болды.
In mathematics, a linear algebraic group is a subgroup of the group of invertible matrices (under matrix multiplication) that is defined by polynomial equations. An example is the orthogonal group, defined by the relation where is the transpose of
Many Lie groups can be viewed as linear algebraic groups over the field of real or complex numbers. (For example, every compact Lie group can be regarded as a linear algebraic group over R (necessarily R anisotropic and reductive), as can many noncompact groups such as the simple Lie group SL(n,R).) The simple Lie groups were classified by Wilhelm Killing and Élie Cartan in the 1880s and 1890s. At that time, no special use was made of the fact that the group structure can be defined by polynomials, that is, that these are algebraic groups. The founders of the theory of algebraic groups include Maurer, Chevalley, and In the 1950s, Armand Borel constructed much of the theory of algebraic groups as it exists today. One of the first uses for the theory was to define the Chevalley groups.
Мысалдар
Оң бүтін сан үшін, барлық инверттендік матрицалардан тұратын өріс үстіндегі жалпы сызықтық топ – сызықтық алгебралық топ болып табылады. Ол формадағы матрицалардан тұратын кіші топтарды қамтиды, ал топ – унипотентті сызықтық алгебралық топтың мысалы, ал топ – шешілетін алгебралық топтың мысалы, ол Борелдің кіші тобы деп аталады. Ли-Кольчин теоремасының салдары ретінде, -нің кез келген байланысты шешілетін кіші тобы -ге конъюгацияланады. Кез келген унипотентті кіші топты да -ге конъюгациялауға болады. -нің тағы бір алгебралық кіші тобы – детерминанты 1-ге тең матрицалардың арнайы сызықтық тобы болып табылады. - тобы көбейтуші топ деп аталады, әдетте деп белгіленеді. -нің нүктелер тобы – өрістің нөлдік емес элементтерінің көбейтуші тобы. -нің нүктелері -нің қосулы тобына изоморфты болатын қосулы топты матрицалық топ ретінде де көрсетуге болады, мысалы, кіші топ ретінде:
consisting of matrices of the form, resp.,
and The group is an example of a unipotent linear algebraic group, the group is an example of a solvable algebraic group called the Borel subgroup of It is a consequence of the Lie Kolchin theorem that any connected solvable subgroup of is conjugated into Any unipotent subgroup can be conjugated into
Another algebraic subgroup of is the special linear group of matrices with determinant 1. The group is called the multiplicative group, usually denoted by The group of points is the multiplicative group of nonzero elements of the field The additive group , whose points are isomorphic to the additive group of , can also be expressed as a matrix group, for example as the subgroup in :
These two basic examples of commutative linear algebraic groups, the multiplicative and additive groups, behave very differently in terms of their linear representations (as algebraic groups). Every representation of the multiplicative group is a direct sum of irreducible representations. (Its irreducible representations all have dimension 1, of the form for an integer .) By contrast, the only irreducible representation of the additive group is the trivial representation. So every representation of (such as the 2 dimensional representation above) is an iterated extension of trivial representations, not a direct sum (unless the representation is trivial). The structure theory of linear algebraic groups analyzes any linear algebraic group in terms of these two basic groups and their generalizations, tori and unipotent groups, as discussed below.
Коммутативті сызықтық алгебралық топтардың осы екі негізгі мысалы, көбейтуші және қосулы топтар, олардың сызықтық бейнелеулері тұрғысынан (алгебралық топтар ретінде) өте әртүрлі әрекет етеді. Көбейтуші топтың кез келген бейнелеуі – ирредукциялық бейнелеулердің тікелей қосындысы болып табылады. (Оның ирредукциялық бейнелеулерінің барлығы 1 өлшемді, жай сандық түрдегі .) Керісінше, қосулы топтың жалғыз ирредукциялық бейнелеуі – тривиалды бейнелеу. Сондықтан, -нің кез келген бейнелеуі (мысалы, жоғарыда көрсетілген 2 өлшемді бейнелеу) тривиалды бейнелеудің итеративті кеңейтілуі болып табылады, тікелей қосынды емес (егер бейнелеу тривиалды болмаса). Сызықтық алгебралық топтардың құрылымдық теориясы кез келген сызықтық алгебралық топты осы екі негізгі топ және олардың жалпыламалары, Тори және унипотентті топтар тұрғысынан талдайды.
consisting of matrices of the form, resp.,
and The group is an example of a unipotent linear algebraic group, the group is an example of a solvable algebraic group called the Borel subgroup of It is a consequence of the Lie Kolchin theorem that any connected solvable subgroup of is conjugated into Any unipotent subgroup can be conjugated into
Another algebraic subgroup of is the special linear group of matrices with determinant 1. The group is called the multiplicative group, usually denoted by The group of points is the multiplicative group of nonzero elements of the field The additive group , whose points are isomorphic to the additive group of , can also be expressed as a matrix group, for example as the subgroup in :
These two basic examples of commutative linear algebraic groups, the multiplicative and additive groups, behave very differently in terms of their linear representations (as algebraic groups). Every representation of the multiplicative group is a direct sum of irreducible representations. (Its irreducible representations all have dimension 1, of the form for an integer .) By contrast, the only irreducible representation of the additive group is the trivial representation. So every representation of (such as the 2 dimensional representation above) is an iterated extension of trivial representations, not a direct sum (unless the representation is trivial). The structure theory of linear algebraic groups analyzes any linear algebraic group in terms of these two basic groups and their generalizations, tori and unipotent groups, as discussed below.
Негізгі түсініктер
K өрісі бойынша G сызықтық алгебралық тобы үшін Go сәйкестік компоненті (1 нүктесін қамтитын байланысты компонент) шекті индекске ие қалыпты кіші топ болып табылады. Сондықтан, F – шекті алгебралық топ болатын топтық кеңейту бар. (К алгебралық жабық болған жағдайда, F абстрактілі шекті топпен сәйкестендіріледі.) Осы себепті алгебралық топтарды зерттеу көбінесе байланысқан топтарға бағытталған. Абстрактілі топ теориясының түрлі ұғымдары сызықтық алгебралық топтарға кеңейтілуі мүмкін. Сызықтық алгебралық топтың коммутативті, нилпотентті немесе шешілетін болуын абстрактілі топ теориясындағы анықтамалармен салыстыра отырып анықтау оңай. Мысалы, сызықтық алгебралық топ шешілетін болып есептеледі, егер оның құрамында сызықтық алгебралық кіші топтардың тізбегі болса, онда олардың бөлімдік топтары коммутативті болады. Сонымен қатар, G сызықтық алгебралық тобының жабық H кіші тобының нормализаторы, центрі және централизаторы G-нің жабық кіші топ схемалары ретінде қарастырылады. Егер олар k-ге қатысты тегіс болса, онда олар жоғарыда анықталғандай сызықтық алгебралық топтар болып табылады. Бір сұрақ туындайды: k өрісі бойынша байланысқан G сызықтық алгебралық тобының қасиеттері G(k) абстрактілі тобымен қаншалықты анықталады? Бұл бағыттағы пайдалы нәтиже: егер k өрісі толық (мысалы, нөлдік сипаттамасы бар) болса, немесе егер G редуктивті болса (төменде анықталғандай), онда G, k бойынша унирационалды болады. Сондықтан, егер k шексіз болса, G(k) тобы G-де Зариски тығыз болады. Мысалы, аталған шарттар орындалғанда, G коммутативті, нилпотентті немесе шешілетін болады, егер және тек егер G(k) сәйкес қасиетке ие болса. Бұл нәтижелерде байланысқандық шартын жіберуге болмайды. Мысалы, G – рационал сандар Q өрісіндегі бірліктің куб түбірлерінің μ3 ⊂ GL(1) тобы болсын. Онда G, Q өрісі бойынша сызықтық алгебралық топ болып табылады, онда G(Q) = 1, G-де Зариски тығыз емес, себебі ол 3-ші реттік топ. Алгебралық жабық өріс үстінде алгебралық топтар туралы мықты нәтиже бар: алгебралық жабық өріс үстіндегі әрбір байланысқан сызықтық алгебралық топ рационалды сорт болып табылады.
where F is a finite algebraic group. (For k algebraically closed, F can be identified with an abstract finite group.) Because of this, the study of algebraic groups mostly focuses on connected groups. Various notions from abstract group theory can be extended to linear algebraic groups. It is straightforward to define what it means for a linear algebraic group to be commutative, nilpotent, or solvable, by analogy with the definitions in abstract group theory. For example, a linear algebraic group is solvable if it has a composition series of linear algebraic subgroups such that the quotient groups are commutative. Also, the normalizer, the center, and the centralizer of a closed subgroup H of a linear algebraic group G are naturally viewed as closed subgroup schemes of G. If they are smooth over k, then they are linear algebraic groups as defined above. One may ask to what extent the properties of a connected linear algebraic group G over a field k are determined by the abstract group G(k). A useful result in this direction is that if the field k is perfect (for example, of characteristic zero), or if G is reductive (as defined below), then G is unirational over k. Therefore, if in addition k is infinite, the group G(k) is Zariski dense in G. For example, under the assumptions mentioned, G is commutative, nilpotent, or solvable if and only if G(k) has the corresponding property. The assumption of connectedness cannot be omitted in these results. For example, let G be the group μ3 ⊂ GL(1) of cube roots of unity over the rational numbers Q. Then G is a linear algebraic group over Q for which G(Q) = 1 is not Zariski dense in G, because is a group of order 3. Over an algebraically closed field, there is a stronger result about algebraic groups as algebraic varieties: every connected linear algebraic group over an algebraically closed field is a rational variety.
Алгебралық топтың Лай алгебрасы
Алгебралық топтың Ли алгебрасы G бірнеше эквивалентті тәсілдермен анықталуы мүмкін: G тобының сәйкестік элементі 1 ∈ G(k) нүктесіндегі T1(G) жанындағы кеңістік ретінде немесе сол жақтан инвариантты туындылар кеңістігі ретінде. Егер k алгебралық жабық болса, G координаталар сақинасының k-ге байланысты D: O(G) → O(G) туындысы, G-дегі кез келген x ∈ G(k) үшін, x-пен сол жақтан көбейту арқылы туындайтын λx: O(G) → O(G) теңдігі орындалса, сол жақтан инвариантты болады. Кез келген k өрісі үшін туындының сол жақтан инварианттылығы екі сызықтық түрлендірудің O(G) → O(G) ⊗O(G) арасындағы ұқсас теңдік ретінде анықталады. Екі туындының Ли жақшасы [D1, D2] = D1D2 − D2D1 арқылы анықталады. Осылайша, G-ден ке өту – дифференциалдау процесі. x ∈ G(k) элементі үшін, G → G, g ↦ xgx−1 конъюгациялық бейнелеуінің 1 ∈ G(k) нүктесіндегі туындысы – автоморфизмі, ол жалғаулы өкілдік береді:
for every x in G(k), where λx: O(G) → O(G) is induced by left multiplication by x. For an arbitrary field k, left invariance of a derivation is defined as an analogous equality of two linear maps O(G) → O(G) ⊗O(G). The Lie bracket of two derivations is defined by [D1, D2] =D1D2 − D2D1. The passage from G to is thus a process of differentiation. For an element x ∈ G(k), the derivative at 1 ∈ G(k) of the conjugation map G → G, g ↦ xgx−1, is an automorphism of , giving the adjoint representation:
Over a field of characteristic zero, a connected subgroup H of a linear algebraic group G is uniquely determined by its Lie algebra But not every Lie subalgebra of corresponds to an algebraic subgroup of G, as one sees in the example of the torus G = (Gm)2 over C. In positive characteristic, there can be many different connected subgroups of a group G with the same Lie algebra (again, the torus G = (Gm)2 provides examples). For these reasons, although the Lie algebra of an algebraic group is important, the structure theory of algebraic groups requires more global tools.
Нөлдік сипаттамасы бар өрісте, сызықтық алгебралық топтың H байланысты кіші тобы G-нің Ли алгебрасымен бірегей түрде анықталады. Бірақ G-нің әрбір Ли субалгебрасы G-нің алгебралық кіші тобына сәйкес келмейді, мысалы, C өрісіндегі G = (Gm)2 мысалында көрінеді. Оң сипаттамада, бірдей Ли алгебрасы бар G тобының көптеген түрлі байланысты кіші топтары болуы мүмкін (тағы да, G = (Gm)2 торы мысал келтіреді). Осы себептерге байланысты, алгебралық топтың Ли алгебрасы маңызды болғанымен, алгебралық топтардың құрылымдық теориясы көбірек жаһандық құралдарды қажет етеді.
for every x in G(k), where λx: O(G) → O(G) is induced by left multiplication by x. For an arbitrary field k, left invariance of a derivation is defined as an analogous equality of two linear maps O(G) → O(G) ⊗O(G). The Lie bracket of two derivations is defined by [D1, D2] =D1D2 − D2D1. The passage from G to is thus a process of differentiation. For an element x ∈ G(k), the derivative at 1 ∈ G(k) of the conjugation map G → G, g ↦ xgx−1, is an automorphism of , giving the adjoint representation:
Over a field of characteristic zero, a connected subgroup H of a linear algebraic group G is uniquely determined by its Lie algebra But not every Lie subalgebra of corresponds to an algebraic subgroup of G, as one sees in the example of the torus G = (Gm)2 over C. In positive characteristic, there can be many different connected subgroups of a group G with the same Lie algebra (again, the torus G = (Gm)2 provides examples). For these reasons, although the Lie algebra of an algebraic group is important, the structure theory of algebraic groups requires more global tools.
Жартылай қарапайым және бір гипотентті элементтер
Алгебралық жабық k өрісі үшін, GL(n,k)-дегі g матрицасы диагональға келтірілетін болса, жартылай жай деп аталады, ал g − 1 матрицасы нильпотент болса, унипотент деп аталады. Балама түрінде, g унипотентті болады, егер g-нің барлық өзіндік мәндері 1-ге тең болса. Матрицалар үшін Жорданның канондық түрі GL(n,k) әрбір g элементін g = gssgu түрінде бірегей түрде жазуға мүмкіндік береді, мұнда gss жартылай жай, gu унипотентті, ал gss және gu бір-бірімен коммутациялайды. Кез келген k өрісі үшін, GL(n,k) элементі g жартылай жай деп аталады, егер ол k өрісінің алгебралық жабылуында диагональға келтірілетін болса. Егер k өрісі толық болса, онда g-нің жартылай жай және унипотентті бөліктері де GL(n,k)-да жатады. Соңында, кез келген сызықтық алгебралық топ G ⊂ GL(n) үшін k өрісінде, G-нің k нүктесі GL(n,k)-да жартылай жай немесе унипотентті болса, жартылай жай немесе унипотентті деп анықталады. (Бұл қасиеттер G-нің иманды бейнелеуін таңдауға тәуелсіз.) Егер k өрісі толық болса, онда G-нің k нүктесінің жартылай жай және унипотентті бөліктері автоматты түрде G-де болады. Яғни (Жордан жіктелуі): G(k)-ның әрбір элементі g, g = gssgu түрінде бірегей түрде жазылуы мүмкін, мұнда gss жартылай жай, gu унипотентті, ал gss және gu бір-бірімен коммутациялайды. Бұл G(k)-ның конъюгация кластарын жартылай жай және унипотентті жағдайларға келтіру мәселесін қарапайымдастырады.
Тори
Алгебралық жабық k өрісіндегі торус – (Gm)n-ге изоморфты топты білдіреді, мұнда n – табиғи сан, ал (Gm)n – k өрісіндегі көбейту тобының n көшірмесінің көбейтіндісі. Сызықтық алгебралық топ G үшін, G-дегі максималды торус – G-дегі, ең үлкен торусқа кірмейтін торус. Мысалы, GL(n) үстіндегі k диагональдық матрицалар тобы – GL(n)-дегі (Gm)n-ге изоморфты максималды торус. Теорияның негізгі нәтижесі – алгебралық жабық k өрісіндегі G тобындағы кез келген екі максималды торус G(k) элементімен конъюгацияланады. G торусының рангі – кез келген максималды торустың өлшемі. Кез келген k өрісі үшін, k үстіндегі T торусы – k үстіндегі сызықтық алгебралық топ, оның k-ның алгебралық жабылуына базалық өзгеруі (Gm)n-ге изоморфты болады, мұнда n – табиғи сан. K үстіндегі бөлінген торус – k үстінде (Gm)n-ге изоморфты топ, мұнда n – кез келген сан. Нақты сандар R үстіндегі бөлінбеген торус мысалы:
with group structure given by the formula for multiplying complex numbers x+iy. Here T is a torus of dimension 1 over R. It is not split, because its group of real points T(R) is the circle group, which is not isomorphic even as an abstract group to Gm(R) = R*. Every point of a torus over a field k is semisimple. Conversely, if G is a connected linear algebraic group such that every element of is semisimple, then G is a torus. For a linear algebraic group G over a general field k, one cannot expect all maximal tori in G over k to be conjugate by elements of G(k). For example, both the multiplicative group Gm and the circle group T above occur as maximal tori in SL(2) over R. However, it is always true that any two maximal split tori in G over k (meaning split tori in G that are not contained in a bigger split torus) are conjugate by some element of G(k). As a result, it makes sense to define the k rank or split rank of a group G over k as the dimension of any maximal split torus in G over k.
For any maximal torus T in a linear algebraic group G over a field k, Grothendieck showed that is a maximal torus in It follows that any two maximal tori in G over a field k have the same dimension, although they need not be isomorphic.
комплекс сандарды x+iy көбейту формуласымен берілген топтық құрылым. Мұнда T – R үстіндегі 1 өлшемді торус. Ол бөлінбеген, себебі оның нақты нүктелер тобы T(R) – шеңбер тобы, ол тіпті абстракт торус ретінде Gm(R) = R*-ға изоморфты емес. k өрісіндегі торустың кез келген нүктесі жартылай қарапайым. Керісінше, егер G – байланысты сызықтық алгебралық топ болса және оның әрбір элементі жартылай қарапайым болса, онда G – торус. Жалпы k өрісіндегі G сызықтық алгебралық тобы үшін, G үстіндегі k-дағы барлық максималды торустар G(k) элементтерімен конъюгацияланады деп күтуге болмайды. Мысалы, жоғарыда аталған Gm көбейту тобы және T шеңбер тобы SL(2) үстіндегі R-де максималды торустар ретінде кездеседі. Дегенмен, G үстіндегі k-дағы кез келген екі максималды бөлінген торус (яғни, үлкен бөлінген торусқа кірмейтін бөлінген торустар) G(k) элементтерінің бірімен конъюгацияланады. Осыдан келіп, G үстіндегі k торусының k ранкін немесе бөлінген ранкін анықтаудың мәні бар – G үстіндегі k-дағы кез келген максималды бөлінген торустың өлшемі ретінде. Кез келген максималды торус T үшін, сызықтық алгебралық топтағы G, k өрісінде, Гротендик көрсеткендей, ол максималды торус болып табылады. Осыдан кейін, G үстіндегі k өрісіндегі кез келген екі максималды торустың өлшемдері бірдей, бірақ олар изоморфты болуы міндетті емес.
with group structure given by the formula for multiplying complex numbers x+iy. Here T is a torus of dimension 1 over R. It is not split, because its group of real points T(R) is the circle group, which is not isomorphic even as an abstract group to Gm(R) = R*. Every point of a torus over a field k is semisimple. Conversely, if G is a connected linear algebraic group such that every element of is semisimple, then G is a torus. For a linear algebraic group G over a general field k, one cannot expect all maximal tori in G over k to be conjugate by elements of G(k). For example, both the multiplicative group Gm and the circle group T above occur as maximal tori in SL(2) over R. However, it is always true that any two maximal split tori in G over k (meaning split tori in G that are not contained in a bigger split torus) are conjugate by some element of G(k). As a result, it makes sense to define the k rank or split rank of a group G over k as the dimension of any maximal split torus in G over k.
For any maximal torus T in a linear algebraic group G over a field k, Grothendieck showed that is a maximal torus in It follows that any two maximal tori in G over a field k have the same dimension, although they need not be isomorphic.
Редуктивті топтарды жіктеу
Редуктивті топтарға тәжірибеде ең маңызды сызықтық алгебралық топтар жатады, мысалы классикалық топтар: GL(n), SL(n), ортогональды топтар SO(n) және симплектикалық топтар Sp(2n). Екінші жағынан, редуктивті топтардың анықтамасы өте "теріс" сипатта болады, сондықтан олар туралы көп нәрсе айтуға болатыны белгісіз. Алайда, Клод Шевалье алгебралық жабық өріс бойынша редуктивті топтардың толық жіктелуін берді: олар түбірлік деректермен анықталады. Атап айтқанда, алгебралық жабық k өрістегі қарапайым топтар (шектелген орталық кіші топтар схемалары бойынша бөлініске дейін) олардың Динкин диаграммалары бойынша жіктеледі. Бұл жіктелу k-ның сипаттамасына тәуелсіз екендігі таң қалдырады. Мысалы, ерекше Лай топтары G2, F4, E6, E7 және E8 кез келген сипаттамада (тіпті Z үстіндегі топтық схемалар ретінде) анықталуы мүмкін. Шекті қарапайым топтардың жіктелуі бойынша, көптеген шекті қарапайым топтар k шекті өрістегі қарапайым алгебралық топтың k нүктелерінің тобы ретінде немесе осы құрылымның шағын өзгертулері ретінде туындайды. Кез келген редуктивті топты тордың және кейбір қарапайым топтардың көбейтіндісінен шектелген орталық кіші топтық схемасы бойынша бөлу арқылы алуға болады. Мысалы, k кез келген өріс үшін, егер G редуктивті тобы k үстінде бөлінген максималды торусты (яғни, G-дегі бөлінген торус k-ның алгебралық жабылуында максималды болып қалатын торус) қамтитын болса, онда ол бөлінген деп аталады. Мысалы, GL(n) кез келген k өрісінде бөлінген редуктивті топ болып табылады. Шевалье бөлінген редуктивті топтардың жіктелуі кез келген өріс үшін бірдей екенін көрсетті. Керісінше, кез келген редуктивті топтардың жіктелуі базалық өріске байланысты қиын болуы мүмкін. Мысалы, k өрісіндегі әрбір дегенерацияланбаған квадраттық форма q, SO(q) редуктивті тобын анықтайды, ал k үстіндегі әрбір орталық қарапайым алгебра A, SL1(A) редуктивті тобын анықтайды. Осылайша, k өрісінде редуктивті топтарды жіктеу мәселесі, негізінен k өрісіндегі барлық квадраттық формаларды немесе барлық орталық қарапайым алгебраларды жіктеу мәселесін қамтиды. Бұл мәселелер k алгебралық жабық болған жағдайда оңай, және олар сандық өрістер сияқты басқа да кейбір өрістер үшін түсінікті, бірақ кез келген өрістер үшін көптеген ашық сұрақтар бар.
For an arbitrary field k, a reductive group G is called split if it contains a split maximal torus over k (that is, a split torus in G which remains maximal over an algebraic closure of k). For example, GL(n) is a split reductive group over any field k. Chevalley showed that the classification of split reductive groups is the same over any field. By contrast, the classification of arbitrary reductive groups can be hard, depending on the base field. For example, every nondegenerate quadratic form q over a field k determines a reductive group SO(q), and every central simple algebra A over k determines a reductive group SL1(A). As a result, the problem of classifying reductive groups over k essentially includes the problem of classifying all quadratic forms over k or all central simple algebras over k. These problems are easy for k algebraically closed, and they are understood for some other fields such as number fields, but for arbitrary fields there are many open questions.
Өкілдік теориясы
Редуктивті топтардың маңыздылығының бір себебі – репрезентация теориясынан туындайды. Кез келген унипотентті топтың әрбір ирредуктивті репрезентациясы тривиальды болады. Көбірек айтқанда, кез келген сызықтық алгебралық топ G, U унипотентті және R редуктивті болатын кеңейтім ретінде жазылса, G-нің әрбір ирредуктивті репрезентациясы R арқылы факторланады. Бұл редуктивті топтардың репрезентация теориясына назар аударуға мүмкіндік береді. (Нақтырақ айтқанда, мұнда қарастырылатын репрезентациялар – G-нің алгебралық топ ретіндегі репрезентациялары. Яғни, k өрісіндегі G тобының репрезентациялары k векторлық кеңістіктерінде жүзеге асырылады, ал G-нің әрекеті тұрақты функциялар арқылы беріледі. Нақты редуктивті топ G үшін G(R) тобының үздіксіз репрезентацияларын жіктеу – маңызды, бірақ басқа проблема, немесе басқа өрістердегі ұқсас проблемалар.) Шеваллье k өрісіндегі бөлінген редуктивті топтың ирредуктивті репрезентацияларының шекті өлшемді екенін және олардың доминантты салмақтармен индексирленгенін көрсетті. Бұл компактты байланысқан Ли топтарының репрезентация теориясында немесе күрделі жартылай қарапайым Ли алгебраларының шекті өлшемді репрезентация теориясында болатын жағдаймен сәйкес келеді. k-ның нөлдік сипаттамасы үшін, осы теориялардың барлығы дерлік эквивалентті. Атап айтқанда, нөлдік сипаттамалы өрістегі редуктивті топ G-нің әрбір репрезентациясы ирредуктивті репрезентациялардың тікелей қосындысы болып табылады, ал егер G бөлінген болса, ирредуктивті репрезентациялардың таңбалары Вейль таңбалық формуласымен беріледі. Борель–Вейль теоремасы нөлдік сипаттамадағы редуктивті топ G-нің ирредуктивті репрезентацияларының геометриялық құрылысын, G/B туындысының жолдары бойынша бөлімдер кеңістігі ретінде ұсынады. Оң сипаттамалы p өрісіндегі редуктивті топтардың (торилерден басқа) репрезентация теориясы жетіксіз зерттелген. Мұндай жағдайда репрезентацияның ирредуктивті репрезентациялардың тікелей қосындысы болуы міндетті емес. Ирредуктивті репрезентациялар доминантты салмақтармен индексирленгенімен, ирредуктивті репрезентациялардың өлшемдері мен таңбалары тек кейбір жағдайларда ғана белгілі. Ол бұл таңбаларды (Lusztig болжамын дәлелдеу) p сипаттамасы топтың Коксетер санымен салыстырғанда жеткілікті үлкен болғанда анықтады. Кіші жай сандар p үшін тіпті нақты болжам да жоқ.
with U unipotent and R reductive, every irreducible representation of G factors through R. This focuses attention on the representation theory of reductive groups. (To be clear, the representations considered here are representations of G as an algebraic group. Thus, for a group G over a field k, the representations are on k vector spaces, and the action of G is given by regular functions. It is an important but different problem to classify continuous representations of the group G(R) for a real reductive group G, or similar problems over other fields.) Chevalley showed that the irreducible representations of a split reductive group over a field k are finite dimensional, and they are indexed by dominant weights. This is the same as what happens in the representation theory of compact connected Lie groups, or the finite dimensional representation theory of complex semisimple Lie algebras. For k of characteristic zero, all these theories are essentially equivalent. In particular, every representation of a reductive group G over a field of characteristic zero is a direct sum of irreducible representations, and if G is split, the characters of the irreducible representations are given by the Weyl character formula. The Borel–Weil theorem gives a geometric construction of the irreducible representations of a reductive group G in characteristic zero, as spaces of sections of line bundles over the flag manifold G/B. The representation theory of reductive groups (other than tori) over a field of positive characteristic p is less well understood. In this situation, a representation need not be a direct sum of irreducible representations. And although irreducible representations are indexed by dominant weights, the dimensions and characters of the irreducible representations are known only in some cases. determined these characters (proving Lusztig's conjecture) when the characteristic p is sufficiently large compared to the Coxeter number of the group. For small primes p, there is not even a precise conjecture.
Қарым-қатынас ұғымдары
Сызықтық алгебралық топтар бірнеше бағытта түрленулерге ие. Кері операцияның болу шартын алып тастағанда, сызықтық алгебралық моноид түсінігі пайда болады.
Лей топтары
Нақты сандар R бойынша G сызықтық алгебралық тобы үшін G(R) нақты нүктелер тобы Ли тобы болып табылады, себебі G-дегі көбейтуді сипаттайтын нақты көпмүшелер тегіс функциялар болып табылады. Сол сияқты, сызықтық алгебралық топ G үстіне C үшін G(C) – кешенді Ли тобы. Алгебралық топтар теориясының көп бөлігі Ли топтарымен салыстыру арқылы жасалды. Ли тобының R-де сызықтық алгебралық топтың құрылымы болмауының бірнеше себебі бар. G/Go компоненттерінің шексіз тобы бар Ли тобы сызықтық алгебралық топ ретінде жүзеге асырыла алмайды. R үстіндегі G алгебралық тобы алгебралық топ ретінде байланысты болуы мүмкін, ал G(R) Ли тобы байланысты болмауы мүмкін, және сонымен қатар жай ғана байланысқан топтар үшін де осы жағдай орынды. Мысалы, алгебралық топ SL(2) кез келген өріс үстінде жай ғана байланысқан, ал Ли тобы SL(2,R) негізгі тобы Z бүтін сандарына изоморфты. SL(2,R) тобының қос жабыны H, метаплектикалық топ деп аталады, бұл R-де сызықтық алгебралық топ ретінде қарастырылмайтын Ли тобы. Одан да күштірек айтқанда, H-тың шекті өлшемді адал өкілдігі жоқ. Анатолий Мальцев көрсеткендей, әрбір жай ғана байланысқан нилпотентті Ли тобын R үстіндегі G унипотентті алгебралық тобы ретінде бірегей түрде қарастыруға болады. (Әртүрлі түрінде, G R-ге қатысты белгілі бір өлшемдегі аффиндік кеңістікке изоморфты.) Керісінше, жай ғана байланысқан, нақты алгебралық топтар ретінде қарастырылмайтын шешілетін Ли топтары бар. Мысалы, жартылай тура көбейтінді S1 ⋉ R2 тобының универсалды жабыны H-тың ортасы Z-ге изоморфты, бұл сызықтық алгебралық топ емес, сондықтан H-ты R үстіндегі сызықтық алгебралық топ ретінде қарастыруға болмайды.
A Lie group with an infinite group of components G/Go cannot be realized as a linear algebraic group. An algebraic group G over R may be connected as an algebraic group while the Lie group G(R) is not connected, and likewise for simply connected groups. For example, the algebraic group SL(2) is simply connected over any field, whereas the Lie group SL(2,R) has fundamental group isomorphic to the integers Z. The double cover H of SL(2,R), known as the metaplectic group, is a Lie group that cannot be viewed as a linear algebraic group over R. More strongly, H has no faithful finite dimensional representation. Anatoly Maltsev showed that every simply connected nilpotent Lie group can be viewed as a unipotent algebraic group G over R in a unique way. (As a variety, G is isomorphic to affine space of some dimension over R.) By contrast, there are simply connected solvable Lie groups that cannot be viewed as real algebraic groups. For example, the universal cover H of the semidirect product S1 ⋉ R2 has center isomorphic to Z, which is not a linear algebraic group, and so H cannot be viewed as a linear algebraic group over R.
Абель сорттары
Алгебралық топтар, аффиналы емес, өте әр түрлі мінез-құлық танытады. Атап айтқанда, бір өріс үстіндегі проективті сорт болатын тегіс, байланысқан топтық схема абельдік сорт деп аталады. Сызықтық алгебралық топтардан өзгеше, кез келген абельдік сорт коммутативті болады. Бірақ, абельдік сорттардың бай теориясы бар. Тіпті эллиптік қисықтар (абельдік сорттардың 1-өлшемді түрлері) сандар теориясының маңызды бөлігі болып табылады, оның ішінде Ферманың соңғы теоремасын дәлелдеу де бар.
Таннакиандық санаттар
Алгебралық топтың шекті өлшемді бейнелері G, бейнелердің тензорлық көбейтіндісімен бірге, RepG Таннакиан категориясын құрайды. Шындығында, "талшықты функторы" бар өріс үстіндегі Таннакиан категориялар аффиндік топтық схемаларға эквивалентті. (Кез келген аффиндік топтық схема k өрісі үстінде шекті типтегі аффиндік топтық схемалардың кері лиміті ретінде проалгебралық болып табылады.) Мысалы, Мамфорд-Тейт тобы және мотивтік Галуа тобы осы формализмді қолдану арқылы құрастырылады. (Про)алгебралық топтың G кейбір қасиеттерін оның бейнелеулер категориясынан оқуға болады. Мысалы, нөлдік сипаттамалы өріс үстінде RepG жартылай жайлы категория болып табылады, егер және тек қана G-дің сәйкестік компоненті проредуктивті болса.