Введение
Подгруппа группы обратимых n×n матриц.
В математике линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых матриц (относительно умножения матриц), определяемая полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа, определяемая соотношением , где — транспонированная матрица . Многие группы Ли можно рассматривать как линейные алгебраические группы над полем действительных или комплексных чисел. (Например, каждая компактная группа Ли может рассматриваться как линейная алгебраическая группа над R (при этом R должна быть анизотропной и редуктивной), как и многие некомпактные группы, такие как простая группа Ли SL(n,R).) Простые группы Ли были классифицированы Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном в 1880-х и 1890-х годах. В то время не уделялось особого внимания тому факту, что структура группы может быть определена полиномами, то есть что это алгебраические группы. Основоположниками теории алгебраических групп являются Морер, Шевалле, а в 1950-х годах Арман Борель построил значительную часть теории алгебраических групп в том виде, в котором она существует сегодня. Одним из первых применений теории стало определение групп Шевалле.
Many Lie groups can be viewed as linear algebraic groups over the field of real or complex numbers. (For example, every compact Lie group can be regarded as a linear algebraic group over R (necessarily R anisotropic and reductive), as can many noncompact groups such as the simple Lie group SL(n,R).) The simple Lie groups were classified by Wilhelm Killing and Élie Cartan in the 1880s and 1890s. At that time, no special use was made of the fact that the group structure can be defined by polynomials, that is, that these are algebraic groups. The founders of the theory of algebraic groups include Maurer, Chevalley, and In the 1950s, Armand Borel constructed much of the theory of algebraic groups as it exists today. One of the first uses for the theory was to define the Chevalley groups.
Примеры
Для положительного целого числа , общая линейная группа над полем , состоящая из всех обратимых матриц, является линейной алгебраической группой над . Она содержит подгруппы, состоящие из матриц вида, соответственно, и . Группа является примером унипотентной линейной алгебраической группы, а группа – примером разрешимой алгебраической группы, называемой подгруппой Бореля. Следствие теоремы Ли – Кольчина состоит в том, что любая связная разрешимая подгруппа сопряжена в любую другую. Любую унипотентную подгруппу можно сопрячь в . Другой алгебраической подгруппой является специальная линейная группа матриц с определителем 1. Группа называется мультипликативной группой и обычно обозначается как . Группа точек – это мультипликативная группа ненулевых элементов поля. Аддитивная группа , точки которой изоморфны аддитивной группе , также может быть представлена как матричная группа, например, как подгруппа в :
consisting of matrices of the form, resp.,
and The group is an example of a unipotent linear algebraic group, the group is an example of a solvable algebraic group called the Borel subgroup of It is a consequence of the Lie Kolchin theorem that any connected solvable subgroup of is conjugated into Any unipotent subgroup can be conjugated into
Another algebraic subgroup of is the special linear group of matrices with determinant 1. The group is called the multiplicative group, usually denoted by The group of points is the multiplicative group of nonzero elements of the field The additive group , whose points are isomorphic to the additive group of , can also be expressed as a matrix group, for example as the subgroup in :
These two basic examples of commutative linear algebraic groups, the multiplicative and additive groups, behave very differently in terms of their linear representations (as algebraic groups). Every representation of the multiplicative group is a direct sum of irreducible representations. (Its irreducible representations all have dimension 1, of the form for an integer .) By contrast, the only irreducible representation of the additive group is the trivial representation. So every representation of (such as the 2 dimensional representation above) is an iterated extension of trivial representations, not a direct sum (unless the representation is trivial). The structure theory of linear algebraic groups analyzes any linear algebraic group in terms of these two basic groups and their generalizations, tori and unipotent groups, as discussed below.
Эти два основных примера коммутативных линейных алгебраических групп – мультипликативная и аддитивная – ведут себя совершенно по-разному с точки зрения их линейных представлений (как алгебраических групп). Каждое представление мультипликативной группы является прямой суммой неприводимых представлений. (Все её неприводимые представления имеют размерность 1 и имеют вид для целого числа .) В отличие от этого, единственным неприводимым представлением аддитивной группы является тривиальное представление. Таким образом, каждое представление (например, двумерное представление, указанное выше) является итеративным расширением тривиальных представлений, а не прямой суммой (если только представление не является тривиальным). Теория структуры линейных алгебраических групп анализирует любую линейную алгебраическую группу с точки зрения этих двух основных групп и их обобщений – торов и унипотентных групп, как обсуждается ниже.
consisting of matrices of the form, resp.,
and The group is an example of a unipotent linear algebraic group, the group is an example of a solvable algebraic group called the Borel subgroup of It is a consequence of the Lie Kolchin theorem that any connected solvable subgroup of is conjugated into Any unipotent subgroup can be conjugated into
Another algebraic subgroup of is the special linear group of matrices with determinant 1. The group is called the multiplicative group, usually denoted by The group of points is the multiplicative group of nonzero elements of the field The additive group , whose points are isomorphic to the additive group of , can also be expressed as a matrix group, for example as the subgroup in :
These two basic examples of commutative linear algebraic groups, the multiplicative and additive groups, behave very differently in terms of their linear representations (as algebraic groups). Every representation of the multiplicative group is a direct sum of irreducible representations. (Its irreducible representations all have dimension 1, of the form for an integer .) By contrast, the only irreducible representation of the additive group is the trivial representation. So every representation of (such as the 2 dimensional representation above) is an iterated extension of trivial representations, not a direct sum (unless the representation is trivial). The structure theory of linear algebraic groups analyzes any linear algebraic group in terms of these two basic groups and their generalizations, tori and unipotent groups, as discussed below.
Основные понятия
Для линейной алгебраической группы G над полем k, компонент идентичности G₀ (соединенная компонента, содержащая точку 1) является нормальной подгруппой конечного индекса. Следовательно, существует расширение группы
где F — конечная алгебраическая группа. (Для k алгебраически замкнутого, F может быть отождествлена с абстрактной конечной группой.) В связи с этим, изучение алгебраических групп в основном сосредоточено на связных группах. Различные понятия из абстрактной теории групп могут быть распространены на линейные алгебраические группы. Прямолинейно определить, что означает для линейной алгебраической группы быть коммутативной, нильпотентной или разрешимой, по аналогии с определениями в абстрактной теории групп. Например, линейная алгебраическая группа разрешима, если она имеет ряд композиции из линейных алгебраических подгрупп, таких что факторгруппы коммутативны. Также нормализатор, центр и централизатор замкнутой подгруппы H линейной алгебраической группы G естественно рассматриваются как замкнутые схемы подгрупп G. Если они гладкие над k, то они являются линейными алгебраическими группами в вышеуказанном смысле. Можно спросить, в какой степени свойства связной линейной алгебраической группы G над полем k определяются абстрактной группой G(k). Полезным результатом в этом направлении является то, что если поле k является совершенным (например, характеристики ноль), или если G является редуктивной (в определении ниже), то G унирациональна над k. Следовательно, если в дополнение k бесконечно, группа G(k) является плотной по Зариски в G. Например, при указанных предположениях, G коммутативна, нильпотентна или разрешима тогда и только тогда, когда G(k) обладает соответствующим свойством. Предположение о связности нельзя опускать в этих результатах. Например, пусть G — группа μ₃ ⊂ GL(1) кубических корней из единицы над полем рациональных чисел Q. Тогда G — линейная алгебраическая группа над Q, для которой G(Q) = 1 не является плотной по Зариски в G, поскольку это группа порядка 3. Над алгебраически замкнутым полем существует более сильный результат об алгебраических группах как об алгебраических многообразиях: каждая связная линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем является рациональным многообразием.
Алгебра Ли алгебраической группы
Алгебра Ли алгебраической группы G может быть определена несколькими эквивалентными способами: как касательное пространство T1(G) в единичном элементе 1 ∈ G(k), или как пространство левоинвариантных производных. Если k алгебраически замкнуто, производная D: O(G) → O(G) координатного кольца G называется левоинвариантной, если для каждого x ∈ G(k) выполняется равенство
где λx: O(G) → O(G) индуцируется левым умножением на x. Для произвольного поля k левая инвариантность производной определяется как аналогичное равенство двух линейных отображений O(G) → O(G) ⊗O(G). Скобка Ли двух производных определяется как [D1, D2] = D1D2 − D2D1. Переход от G к – это, таким образом, процесс дифференцирования. Для элемента x ∈ G(k) производная в 1 ∈ G(k) сопряжения G → G, g ↦ xgx−1, является автоморфизмом , определяющим присоединенное представление:
Над полем характеристики ноль связная подгруппа H линейной алгебраической группы G однозначно определяется своей алгеброй Ли. Но не каждая подалгебра Ли соответствует алгебраической подгруппе G, как видно на примере тора G = (Gm)2 над C. В положительной характеристике может существовать множество различных связных подгрупп группы G с одной и той же алгеброй Ли (снова, тор G = (Gm)2 предоставляет примеры). По этим причинам, хотя алгебра Ли алгебраической группы важна, теория структуры алгебраических групп требует более глобальных инструментов.
Полупростые и однопотентные элементы
Для алгебраически замкнутого поля k матрица g в GL(n,k) называется полупростой, если она диагонализируема, и унипотентной, если матрица g − 1 нильпотентна. Эквивалентно, g является унипотентной, если все собственные значения g равны 1. Каноническая форма Жордана для матриц подразумевает, что каждый элемент g из GL(n,k) может быть единственным образом представлен в виде произведения g = gssgu, где gss полупроста, gu унипотентна, и gss и gu коммутируют друг с другом. Для любого поля k элемент g из GL(n,k) называется полупростым, если он становится диагонализируемым над алгебраическим замыканием k. Если поле k является совершенным, то полупростая и унипотентная части g также лежат в GL(n,k). Наконец, для любой линейной алгебраической группы G ⊂ GL(n) над полем k, k-точка G называется полупростой или унипотентной, если она полупроста или унипотентна в GL(n,k). (Эти свойства на самом деле не зависят от выбора верного представления G.) Если поле k является совершенным, то полупростые и унипотентные части k-точки G автоматически находятся в G. То есть (разложение Жордана): каждый элемент g из G(k) может быть единственным образом представлен в виде произведения g = gssgu в G(k), где gss полупроста, gu унипотентна, и gss и gu коммутируют друг с другом. Это сводит задачу описания классов сопряженности в G(k) к полупростым и унипотентным случаям.
Тори
Торус над алгебраически замкнутым полем k означает группу, изморфную (Gm)n, произведению n копий мультипликативной группы над k, для некоторого натурального числа n. Для линейной алгебраической группы G, максимальный тор в G означает тор в G, который не содержится ни в каком большем торе. Например, группа диагональных матриц в GL(n) над k является максимальным тором в GL(n), изоморфным (Gm)n. Основной результат теории заключается в том, что любые два максимальных тора в группе G над алгебраически замкнутым полем k сопряжены некоторым элементом из G(k). Ранг G означает размерность любого максимального тора. Для произвольного поля k, тор T над k означает линейную алгебраическую группу над k, изменение базы к алгебраическому замыканию k которой изоморфно (Gm)n над , для некоторого натурального числа n. Разделенный тор над k означает группу, изоморфную (Gm)n над k для некоторого n. Пример неразделенного тора над действительными числами R:
с групповой структурой, заданной формулой умножения комплексных чисел x+iy. Здесь T — тор размерности 1 над R. Он не является разделенным, потому что его группа вещественных точек T(R) — это окружность, которая не изоморфна даже как абстрактная группа к Gm(R) = R*. Каждая точка тора над полем k является полупростой. И наоборот, если G — связная линейная алгебраическая группа, такая что каждый элемент из является полупростым, то G — тор. Для линейной алгебраической группы G над общим полем k нельзя ожидать, что все максимальные торы в G над k будут сопряжены элементами из G(k). Например, как мультипликативная группа Gm, так и окружность T выше встречаются в качестве максимальных торов в SL(2) над R. Однако всегда верно, что любые два максимальных разделенных тора в G над k (то есть разделенные торы в G, которые не содержатся в большем разделенном торе) сопряжены некоторым элементом из G(k). В результате имеет смысл определить k-ранг или разделенный ранг группы G над k как размерность любого максимального разделенного тора в G над k.
Для любого максимального тора T в линейной алгебраической группе G над полем k, Гротендик показал, что является максимальным тором в . Следовательно, любые два максимальных тора в G над полем k имеют одинаковую размерность, хотя они не обязательно должны быть изоморфными.
Классификация редуктивных групп
Редуктивные группы включают наиболее важные линейные алгебраические группы на практике, такие как классические группы: GL(n), SL(n), ортогональные группы SO(n) и симплектические группы Sp(2n). С другой стороны, определение редуктивных групп довольно "негативное", и неясно, что можно о них много сказать. Примечательно, что Клод Шевалье дал полную классификацию редуктивных групп над алгебраически замкнутым полем: они определяются корневыми данными. В частности, простые группы над алгебраически замкнутым полем k классифицируются (с точностью до частного по конечной центральной подгруппе схемы) по их диаграммам Динкина. Удивительно, что эта классификация не зависит от характеристики k. Например, исключительные группы Ли G2, F4, E6, E7 и E8 могут быть определены в любой характеристике (и даже как групповые схемы над Z). Классификация конечных простых групп утверждает, что большинство конечных простых групп возникают как группа k-точек простой алгебраической группы над конечным полем k, или как незначительные варианты этой конструкции. Каждая редуктивная группа над полем является частным от конечной центральной подгруппы схемы произведения тора и некоторых простых групп. Например,
Для произвольного поля k, редуктивная группа G называется расщепляемой, если она содержит расщепляемый максимальный тор над k (то есть расщепляемый тор в G, который остаётся максимальным над алгебраическим замыканием k). Например, GL(n) является расщепляемой редуктивной группой над любым полем k. Шевалье показал, что классификация расщепляемых редуктивных групп одинакова для любого поля. Напротив, классификация произвольных редуктивных групп может быть сложной и зависит от базового поля. Например, каждая вырожденная квадратичная форма q над полем k определяет редуктивную группу SO(q), и каждая центральная простая алгебра A над k определяет редуктивную группу SL1(A). В результате, проблема классификации редуктивных групп над k по существу включает в себя проблему классификации всех квадратичных форм над k или всех центральных простых алгебр над k. Эти проблемы легко решаются для алгебраически замкнутого k и понятны для некоторых других полей, таких как поля чисел, но для произвольных полей существует много открытых вопросов.
Теория представления
Одна из причин важности редуктивных групп проистекает из теории представлений. Каждое неприводимое представление унипотентной группы тривиально. В более общем случае, для любой линейной алгебраической группы G, представленной в виде расширения
с унипотентной группой U и редуктивной группой R, каждое неприводимое представление G факторизуется через R. Это фокусирует внимание на теории представлений редуктивных групп. (Для ясности, рассматриваемые здесь представления — это представления G как алгебраической группы. Таким образом, для группы G над полем k представления определены на k-векторных пространствах, а действие G задано регулярными функциями. Важной, но отдельной задачей является классификация непрерывных представлений группы G(R) для вещественной редуктивной группы G или аналогичных задач над другими полями.) Шевалле показал, что неприводимые представления расщепленной редуктивной группы над полем k конечномерны и индексируются доминантными весами. Это аналогично тому, что происходит в теории представлений компактных связных групп Ли или в теории конечномерных представлений комплексных полупростых алгебр Ли. Для k характеристики ноль все эти теории по существу эквивалентны. В частности, каждое представление редуктивной группы G над полем характеристики ноль является прямой суммой неприводимых представлений, и если G расщеплена, то характеры неприводимых представлений задаются формулой характера Вейля. Теорема Бореля — Вейля дает геометрическое построение неприводимых представлений редуктивной группы G в характеристике ноль как пространства сечений линейных расслоений над флаговым многообразием G/B. Теория представлений редуктивных групп (кроме торов) над полем положительной характеристики p изучена хуже. В этой ситуации представление не обязательно является прямой суммой неприводимых представлений. И хотя неприводимые представления индексируются доминантными весами, размеры и характеры неприводимых представлений известны лишь в некоторых случаях. Были определены эти характеры (доказав гипотезу Лустига) при достаточно большой характеристике p по сравнению с числом Коксетера группы. Для малых простых чисел p даже точной гипотезы не существует.
Связанные понятия
Линейные алгебраические группы имеют варианты в нескольких направлениях. Отказываясь от существования обратного отображения, мы приходим к понятию линейного алгебраического моноида.
Группы лжи
Для линейной алгебраической группы G над действительными числами R, группа действительных точек G(R) является группой Ли, по существу потому, что действительные многочлены, описывающие умножение на G, являются гладкими функциями. Аналогично, для линейной алгебраической группы G над C, G(C) является комплексной группой Ли. Большая часть теории алгебраических групп была разработана по аналогии с группами Ли. Существует несколько причин, по которым группа Ли не может иметь структуру линейной алгебраической группы над R. Группа Ли с бесконечным числом компонент связности G/Go не может быть реализована как линейная алгебраическая группа. Алгебраическая группа G над R может быть связной как алгебраическая группа, в то время как группа Ли G(R) не связна, и аналогично для просто связных групп. Например, алгебраическая группа SL(2) просто связна над любым полем, тогда как группа Ли SL(2,R) имеет фундаментальную группу, изоморфную целым числам Z. Двойное покрытие H группы SL(2,R), известное как метаплектическая группа, является группой Ли, которую нельзя рассматривать как линейную алгебраическую группу над R. Более строго, H не имеет верного конечномерного представления. Анатолий Мальцев показал, что каждая просто связная нильпотентная группа Ли может быть представлена как однородная алгебраическая группа G над R единственным образом. (Как многообразие, G изоморфна аффинному пространству некоторой размерности над R.) Напротив, существуют просто связные разрешимые группы Ли, которые нельзя рассматривать как вещественные алгебраические группы. Например, универсальное покрытие H полупрямого произведения S¹ ⋉ R² имеет центр, изоморфный Z, который не является линейной алгебраической группой, и поэтому H нельзя рассматривать как линейную алгебраическую группу над R.
A Lie group with an infinite group of components G/Go cannot be realized as a linear algebraic group. An algebraic group G over R may be connected as an algebraic group while the Lie group G(R) is not connected, and likewise for simply connected groups. For example, the algebraic group SL(2) is simply connected over any field, whereas the Lie group SL(2,R) has fundamental group isomorphic to the integers Z. The double cover H of SL(2,R), known as the metaplectic group, is a Lie group that cannot be viewed as a linear algebraic group over R. More strongly, H has no faithful finite dimensional representation. Anatoly Maltsev showed that every simply connected nilpotent Lie group can be viewed as a unipotent algebraic group G over R in a unique way. (As a variety, G is isomorphic to affine space of some dimension over R.) By contrast, there are simply connected solvable Lie groups that cannot be viewed as real algebraic groups. For example, the universal cover H of the semidirect product S1 ⋉ R2 has center isomorphic to Z, which is not a linear algebraic group, and so H cannot be viewed as a linear algebraic group over R.
Абелевы сорта
Алгебраические группы, которые не являются аффинными, ведут себя совершенно иначе. В частности, гладкая связная групповая схема, являющаяся проективным многообразием над полем, называется абелевым многообразием. В отличие от линейных алгебраических групп, каждое абелево многообразие коммутативно. Тем не менее, абелевы многообразия обладают богатой теорией. Даже случай эллиптических кривых (абелевых многообразий размерности 1) играет центральную роль в теории чисел, с приложениями, включая доказательство последней теоремы Ферма.
Таннакийские категории
Конечные размерные представления алгебраической группы G, вместе с тензорным произведением представлений, образуют танакийскую категорию RepG. Фактически, танакийские категории с "волоконным функтором" над полем эквивалентны аффинным групповым схемам. (Каждая аффинная групповая схема над полем k является проалгебраической в том смысле, что она является обратным пределом аффинных групповых схем конечного типа над k.) Например, группа Мамфорда — Тейта и мотивная группа Галуа строятся с использованием этого формализма. Определенные свойства (про)алгебраической группы G можно определить по ее категории представлений. Например, над полем характеристики ноль, RepG является полупростой категорией тогда и только тогда, когда единичный компонент G является проредуктивным.