Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Эргодикалық теорияда зерттеу нысаны
Subject of study in ergodic theory
Математикада өлшемді сақтайтын динамикалық жүйе – динамикалық жүйелердің абстрактілі тұжырымдамасының және әсіресе эргодикалық теорияның зерттеу нысаны болып табылады. Өлшемді сақтайтын жүйелер Пуанкаре қайталану теоремасына бағынады және консервативті жүйелердің ерекше жағдайы есебінде қарастырылады. Олар физикалық жүйелердің кең спектріне, соның ішінде классикалық механиканың көптеген жүйелеріне (әсіресе, энергияны жоғалтпайтын жүйелерге) және термодинамикалық тепе-теңдіктегі жүйелерге формалды математикалық негіз береді.
In mathematics, a measure preserving dynamical system is an object of study in the abstract formulation of dynamical systems, and ergodic theory in particular. Measure preserving systems obey the Poincaré recurrence theorem, and are a special case of conservative systems. They provide the formal, mathematical basis for a broad range of physical systems, and, in particular, many systems from classical mechanics (in particular, most non dissipative systems) as well as systems in thermodynamic equilibrium.
Бейресми мысал
Физикадан алынған микроканондық жиынтық (ансамбль) бір бейресми мысал келтіруге болады. Мысалы, ені, ұзындығы және биіктігі бар, атомдардан тұратын қораптағы сұйықтық, газ немесе плазманы қарастырайық. Осы қораптағы бір атом кез келген жерде орналасқан, кез келген жылдамдыққа ие болуы мүмкін; ол кеңістікте бір нүктемен бейнеленеді. Атомдардың берілген жиынтығы осы кеңістікте бір нүкте болады. "Жиынтық (ансамбль)" – мұндай барлық нүктелердің жиынтығы, яғни барлық мүмкін қораптардың жиынтығы (олардың саны санауға келмейтіндей көп). Барлық мүмкін қораптардың жиынтығы – жоғарыда аталған кеңістік. Идеал газ жағдайында, бұл өлшем Максвелл-Болцман таралымымен беріледі. Бұл – көбейтінді шама, яғни егер атомның позициясы мен жылдамдығының ықтималдығы болса, онда атом үшін ықтималдық осы шамалардың көбейтіндісі болады. Бұл өлшем жиынтыққа қатысты қолданылады. Сонымен, мысалы, жиынтықтағы мүмкін қораптардың бірінде барлық атомдар қораптың бір жағында жиналған. Бұл жағдайдың ықтималдығын Максвелл-Болцман өлшемі арқылы есептеуге болады. Ол өте кішкентай болады, шамамен дейін. Жиынтықтағы барлық мүмкін қораптардың арасында бұл өте шағын үлес. Бұл "бейресми мысал" болуының себебі – ауысу функциясын жазу қиын, тіпті жазылған жағдайда да онымен практикалық есептеулер жасау қиын. Егер өзара әрекеттесу идеал газ шарлары сияқты болмаса, керісінше ван дер Ваальс әрекеттесуі немесе сұйықтыққа немесе плазмаға сәйкес келетін басқа әрекеттесу болса, қиындықтар одан әрі күшейеді; мұндай жағдайларда инвариантты өлшем енді Максвелл-Болцман таралымы емес. Физиканың өнері – дұрыс жуықтамаларды табу. Бұл жүйе өлшемді сақтайтын динамикалық жүйелердің жіктелуінен бір маңызды идеяны көрсетеді: әртүрлі температурасы бар екі жиынтық (ансамбль) эквивалентті емес. Берілген канондық жиынтықтың (ансамбльдің) энтропиясы оның температурасына байланысты; физикалық жүйелер ретінде, температуралар әртүрлі болғанда жүйелер де әртүрлі болады дегені "көздейтін" нәрсе. Бұл жалпы жағдайда да қолданылады: әртүрлі энтропияға ие жүйелер изоморфты емес.
The microcanonical ensemble from physics provides an informal example. Consider, for example, a fluid, gas or plasma in a box of width, length and height consisting of atoms. A single atom in that box might be anywhere, having arbitrary velocity; it would be represented by a single point in A given collection of atoms would then be a single point somewhere in the space The "ensemble" is the collection of all such points, that is, the collection of all such possible boxes (of which there are an uncountably infinite number). This ensemble of all possible boxes is the space above. In the case of an ideal gas, the measure is given by the Maxwell–Boltzmann distribution. It is a product measure, in that if is the probability of atom having position and velocity , then, for atoms, the probability is the product of of these. This measure is understood to apply to the ensemble. So, for example, one of the possible boxes in the ensemble has all of the atoms on one side of the box. One can compute the likelihood of this, in the Maxwell–Boltzmann measure. It will be enormously tiny, of order Of all possible boxes in the ensemble, this is a ridiculously small fraction. The only reason that this is an "informal example" is because writing down the transition function is difficult, and, even if written down, it is hard to perform practical computations with it. Difficulties are compounded if the interaction is not an ideal gas billiard ball type interaction, but is instead a van der Waals interaction, or some other interaction suitable for a liquid or a plasma; in such cases, the invariant measure is no longer the Maxwell–Boltzmann distribution. The art of physics is finding reasonable approximations. This system does exhibit one key idea from the classification of measure preserving dynamical systems: two ensembles, having different temperatures, are inequivalent. The entropy for a given canonical ensemble depends on its temperature; as physical systems, it is "obvious" that when the temperatures differ, so do the systems. This holds in general: systems with different entropy are not isomorphic.
Классификациялау және антиклассификациялау теоремалары
Өлшеуді сақтау жүйелерін зерттеудегі басты міндеттердің бірі – оларды қасиеттеріне қарай жіктеу болып табылады. Яғни, болсын өлшем кеңістігі, ал болсын барлық өлшемді сақтайтын жүйелер жиыны. Екі түрлендірудің изоморфизмі эквиваленттілік қатынасын анықтайды. Мақсат – осы қатынасты сипаттау. Көптеген жіктеу теоремалары алынған; бірақ қызықтысы, анти-жіктеу теоремалары да табылды. Анти-жіктеу теоремалары изоморфизм кластарының саны санаулы емес екенін, ал изоморфизмдерді жіктеу үшін санаулы ақпарат жеткіліксіз екенін көрсетеді. Бірінші анти-жіктеу теоремасы, Hjorth-қа тиесілі, егер жиын әлсіз топологиямен жабдықталған болса, онда ол Борель жиыны емес екенін айтады. Басқа да анти-жіктеу нәтижелері бар. Мысалы, изоморфизмді Какутани эквиваленттілігімен алмастыру арқылы, әр энтропия түрі үшін Какутани эквивалентті емес, санаулы емес көптеген эргодикалық өлшемді сақтайтын түрлендірулер бар екенін көрсетуге болады. Бұл жіктеу теоремаларына қайшы келеді. Оларға мыналар жатады: таза нүктелік спектрлі эргодикалық өлшемді сақтайтын түрлендірулер жіктелді. Бернулли жылжулары метрикалық энтропия бойынша жіктеледі. Толығырақ білу үшін Орнштейн теориясын қараңыз.
One of the primary activities in the study of measure preserving systems is their classification according to their properties. That is, let be a measure space, and let be the set of all measure preserving systems An isomorphism of two transformations defines an equivalence relation The goal is then to describe the relation A number of classification theorems have been obtained; but quite interestingly, a number of anti classification theorems have been found as well. The anti classification theorems state that there are more than a countable number of isomorphism classes, and that a countable amount of information is not sufficient to classify isomorphisms. The first anti classification theorem, due to Hjorth, states that if is endowed with the weak topology, then the set is not a Borel set. There are a variety of other anti classification results. For example, replacing isomorphism with Kakutani equivalence, it can be shown that there are uncountably many non Kakutani equivalent ergodic measure preserving transformations of each entropy type. These stand in contrast to the classification theorems. These include:
Ergodic measure preserving transformations with a pure point spectrum have been classified. Bernoulli shifts are classified by their metric entropy. See Ornstein theory for more.