Теория эргодических систем и сохраняющие меру динамические системы

Введение

Предмет исследования в эргодической теории

В математике динамическая система, сохраняющая меру, является объектом изучения в абстрактном формализме динамических систем и, в частности, в эргодической теории. Системы, сохраняющие меру, подчиняются теореме Пуанкаре о возврате и являются частным случаем консервативных систем. Они предоставляют формальную математическую основу для широкого круга физических систем, и особенно для многих систем из классической механики (в частности, для большинства нерассеивающих систем), а также для систем, находящихся в термодинамическом равновесии.

Неформальный пример

Микроканонический ансамбль из физики предоставляет неформальный пример. Рассмотрим, например, жидкость, газ или плазму в ящике с шириной, длиной и высотой, состоящей из атомов. Отдельный атом в этом ящике может находиться где угодно, имея произвольную скорость; он будет представлен одной точкой в пространстве. Данное множество атомов, таким образом, будет одной точкой где-то в этом пространстве. "Ансамбль" – это совокупность всех таких точек, то есть совокупность всех возможных ящиков (которых существует несчетно бесконечное множество). Этот ансамбль всех возможных ящиков и есть указанное выше пространство. В случае идеального газа мера задается распределением Максвелла — Больцмана. Это произведение мер, то есть если – вероятность того, что атом имеет положение и скорость , то для атомов вероятность будет произведением этих вероятностей. Эта мера относится к ансамблю. Например, один из возможных ящиков в ансамбле содержит все атомы на одной стороне ящика. Можно вычислить вероятность этого в рамках меры Максвелла — Больцмана. Она будет чрезвычайно мала, порядка – ничтожно малая доля от всех возможных ящиков в ансамбле. Единственная причина, по которой это "неформальный пример", заключается в сложности записи переходной функции , и даже если она записана, с ней трудно проводить практические вычисления. Сложности возрастают, если взаимодействие не является взаимодействием типа упругих столкновений идеального газа, а вместо этого представляет собой взаимодействие Ван-дер-Ваальса или какое-либо другое взаимодействие, подходящее для жидкости или плазмы; в таких случаях инвариантная мера перестает быть распределением Максвелла — Больцмана. Искусство физики заключается в поиске разумных приближений. Эта система демонстрирует одну ключевую идею из классификации динамических систем, сохраняющих меру: два ансамбля с разными температурами неэквивалентны. Энтропия для данного канонического ансамбля зависит от его температуры; как физические системы, "очевидно", что при разных температурах и системы различны. Это справедливо в общем случае: системы с разной энтропией неизоморфны.

The microcanonical ensemble from physics provides an informal example. Consider, for example, a fluid, gas or plasma in a box of width, length and height consisting of atoms. A single atom in that box might be anywhere, having arbitrary velocity; it would be represented by a single point in A given collection of atoms would then be a single point somewhere in the space The "ensemble" is the collection of all such points, that is, the collection of all such possible boxes (of which there are an uncountably infinite number). This ensemble of all possible boxes is the space above. In the case of an ideal gas, the measure is given by the Maxwell–Boltzmann distribution. It is a product measure, in that if is the probability of atom having position and velocity , then, for atoms, the probability is the product of of these. This measure is understood to apply to the ensemble. So, for example, one of the possible boxes in the ensemble has all of the atoms on one side of the box. One can compute the likelihood of this, in the Maxwell–Boltzmann measure. It will be enormously tiny, of order Of all possible boxes in the ensemble, this is a ridiculously small fraction. The only reason that this is an "informal example" is because writing down the transition function is difficult, and, even if written down, it is hard to perform practical computations with it. Difficulties are compounded if the interaction is not an ideal gas billiard ball type interaction, but is instead a van der Waals interaction, or some other interaction suitable for a liquid or a plasma; in such cases, the invariant measure is no longer the Maxwell–Boltzmann distribution. The art of physics is finding reasonable approximations. This system does exhibit one key idea from the classification of measure preserving dynamical systems: two ensembles, having different temperatures, are inequivalent. The entropy for a given canonical ensemble depends on its temperature; as physical systems, it is "obvious" that when the temperatures differ, so do the systems. This holds in general: systems with different entropy are not isomorphic.

Теоремы классификации и антиклассификации

Одной из основных задач в исследовании систем, сохраняющих меру, является их классификация по их свойствам. То есть, пусть – пространство с мерой, а – множество всех систем, сохраняющих меру. Изоморфизм двух преобразований определяет отношение эквивалентности. Цель состоит в том, чтобы описать это отношение. Было получено множество теорем классификации, но, что примечательно, также обнаружено множество теорем антиклассификации. Теоремы антиклассификации утверждают, что существует несчетное количество классов изоморфизма и что счетного количества информации недостаточно для классификации изоморфизмов. Первая теорема антиклассификации, предложенная Хьортом, утверждает, что если наделено слабой топологией, то множество не является множеством Бореля. Существует множество других результатов антиклассификации. Например, заменяя изоморфизм на эквивалентность Какутани, можно показать, что существует несчетное количество эргодических систем, сохраняющих меру, которые не эквивалентны по Какутани, для каждого типа энтропии. Эти результаты противопоставляются теоремам классификации. К ним относятся: классифицированы эргодические системы, сохраняющие меру, с чисто точечным спектром. Сдвиги Бернулли классифицируются по их метрической энтропии. Более подробную информацию можно найти в теории Орнштейна.