Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Геометриядағы ұғым
Concept in geometry
Геометрияда шексіз нүкте немесе идеалдық нүкте – әр түзудің "соңындағы" идеалдастырылған шектес нүкте. Аффиндік жазықтықта (Евклид жазықтығын қоса алғанда) жазықтықтың параллель түзулерінің әр шоғыры үшін бір идеалдық нүкте бар. Бұл нүктелерді қосу арқылы проективтік жазықтық құралады, егер қосылған нүктелерді "ұмытсақ", онда ешқандай нүктені ажырату мүмкін емес. Бұл кез келген өрістегі геометрия үшін де, жалпы алғанда, кез келген бөліну сақинасы үшін де қолданылады. Нақты жағдайда шексіз нүкте түзуді топологиялық тұрғыдан жабық қисыққа толықтырады. Жоғары өлшемдерде шексіздіктегі барлық нүктелер олар тиесілі болатын проективтік кеңістіктен бір өлшемге кем проективтік ішкі кеңістік құрайды. Кешенді түзуге (оны кешенді жазықтық деп қарастыруға болады) шексіз нүкте қосылуы мүмкін, осылайша ол күрделі проективтік түзу, CP1 деп аталатын жабық бетке айналады, сондай-ақ Риман сферасы деп те аталады (кешенді сандар әр нүктеге бейнеленген кезде). Гиперболалық кеңістікте әр түзудің екі түрлі идеалдық нүктесі болады. Бұл жағдайда идеалдық нүктелер жиыны төртбұрыш түрінде болады.
In geometry, a point at infinity or ideal point is an idealized limiting point at the "end" of each line. In the case of an affine plane (including the Euclidean plane), there is one ideal point for each pencil of parallel lines of the plane. Adjoining these points produces a projective plane, in which no point can be distinguished, if we "forget" which points were added. This holds for a geometry over any field, and more generally over any division ring. In the real case, a point at infinity completes a line into a topologically closed curve. In higher dimensions, all the points at infinity form a projective subspace of one dimension less than that of the whole projective space to which they belong. A point at infinity can also be added to the complex line (which may be thought of as the complex plane), thereby turning it into a closed surface known as the complex projective line, CP1, also called the Riemann sphere (when complex numbers are mapped to each point). In the case of a hyperbolic space, each line has two distinct ideal points. Here, the set of ideal points takes the form of a quadric.
Аффиналық геометрия
Жоғары өлшемді аффиндік немесе Евклидтік кеңістікте шексіз нүктелер – проективті толықтыруды жасау үшін кеңістікке қосылатын нүктелер. Шексіз нүктелер жиыны, кеңістіктің өлшеміне байланысты, шексіз түзу, шексіз жазықтық немесе шексіз гипержазықтық деп аталады, және барлық жағдайларда бұл бір өлшемге кем проективтік кеңістік болып табылады. Егер өрістегі проективтік кеңістік тегіс алгебралық сан алуандық болса, онда шексіз нүктелер жиыны үшін де осы қасиет сақталады. Сол сияқты, егер негізгі өріс нақты немесе кешенді өріс болса, шексіз нүктелер жиыны көпқырлы болады.
In an affine or Euclidean space of higher dimension, the points at infinity are the points which are added to the space to get the projective completion. The set of the points at infinity is called, depending on the dimension of the space, the line at infinity, the plane at infinity or the hyperplane at infinity, in all cases a projective space of one less dimension. As a projective space over a field is a smooth algebraic variety, the same is true for the set of points at infinity. Similarly, if the ground field is the real or the complex field, the set of points at infinity is a manifold.
Перспектива
Көркемдік суретте және техникалық перспективада, параллель түзулер тобының шексіздіктегі нүктесінің сурет жазықтығына проекциясы олардың жоғалу нүктесі деп аталады.
In artistic drawing and technical perspective, the projection on the picture plane of the point at infinity of a class of parallel lines is called their vanishing point.
Гиперболалық геометрия
Гиперболалық геометрияда шексіз нүктелер әдетте идеалдық нүктелер деп аталады. Евклидтік және эллиптік геометриялардан өзгеше, әрбір түзудің екі шексіз нүктесі болады: егер l түзуіне P нүктесі жатпаса, онда оң және сол жақтанғы асимптотикалық параллельдер әр түрлі шексіз нүктелерге жуысады. Барлық шексіз нүктелердің жиынтығы Кейли абсолютін немесе гиперболалық жазықтықтың шекарасын құрайды.
In hyperbolic geometry, points at infinity are typically named ideal points. Unlike Euclidean and elliptic geometries, each line has two points at infinity: given a line l and a point P not on l, the right and left limiting parallels converge asymptotically to different points at infinity. All points at infinity together form the Cayley absolute or boundary of a hyperbolic plane.
Жобалау геометриясы
Проективті жазықтықта нүктелер мен түзулердің симметриясы туындайды: нүктелер жұбы түзуді анықтағандай, түзулер жұбы да нүктені анықтайды. Параллель түзулердің болуы осы параллельдердің қиылысуын көрсететін шексіз нүктенің пайда болуына әкеледі. Бұл аксиоматикалық симметрия графикалық перспективаны зерттеу нәтижесінде пайда болды, онда параллель проекция орталық проекция ретінде туындайды, онда орталық C – шексіз нүкте немесе образды нүкте. Нүктелер мен түзулердің аксиоматикалық симметриясы дуалдық деп аталады. Шексіз нүкте проективті қатардағы кез келген нүктемен тең қарастырылса да, проективті координаттармен нүктелерді бейнелеуде ерекшелік байқалады: шекті нүктелер соңғы координатта 1-мен бейнеленеді, ал шексіз нүктенің соңғы координатасы 0 болады. Шексіз нүктені бейнелеу қажеттілігі шекті нүктелер кеңістігінен тыс бір қосымша координаттың болуын талап етеді.
A symmetry of points and lines arises in a projective plane: just as a pair of points determine a line, so a pair of lines determine a point. The existence of parallel lines leads to establishing a point at infinity which represents the intersection of these parallels. This axiomatic symmetry grew out of a study of graphical perspective where a parallel projection arises as a central projection where the center C is a point at infinity, or figurative point. The axiomatic symmetry of points and lines is called duality. Though a point at infinity is considered on a par with any other point of a projective range, in the representation of points with projective coordinates, distinction is noted: finite points are represented with a 1 in the final coordinate while a point at infinity has a 0 there. The need to represent points at infinity requires that one extra coordinate beyond the space of finite points is needed.
Басқа жалпылаулар
Бұл құрылымды топологиялық кеңістіктерге жалпылауға болады. Белгілі бір кеңістік үшін әртүрлі тығыздаулар болуы мүмкін, бірақ кез келген топологиялық кеңістік Александров кеңейтіміне ие, ал бастапқы кеңістік өзі тығыз болмаған жағдайда бұл бірнүктелік тығыздау деп аталады. Проективтік түзу (кәдімгі емес кез келген өріс үстінде) – сәйкес өрістің Александров кеңейтімі. Осылайша, шеңбер – нақты түзудің бірнүктелік тығыздаусы, ал сфера – жазықтықтың бірнүктелік тығыздаусы. n > 1 үшін Pn проективтік кеңістіктері жоғарыда аталған себептерге байланысты сәйкес аффиндік кеңістіктердің бірнүктелік тығыздаулары емес, сондай-ақ гиперболалық кеңістіктердің идеалдық нүктелермен толықтырылуы да бірнүктелік тығыздау болып табылмайды.
This construction can be generalized to topological spaces. Different compactifications may exist for a given space, but arbitrary topological space admits Alexandroff extension, also called the one point compactification when the original space is not itself compact. Projective line (over arbitrary field) is the Alexandroff extension of the corresponding field. Thus the circle is the one point compactification of the real line, and the sphere is the one point compactification of the plane. Projective spaces Pn for n > 1 are not one point compactifications of corresponding affine spaces for the reason mentioned above under , and completions of hyperbolic spaces with ideal points are also not one point compactifications.