Введение
Понятие в геометрии
В геометрии точка на бесконечности или идеальная точка — это идеализированная предельная точка в "конце" каждой прямой. В случае аффинной плоскости (включая евклидову плоскость) существует одна идеальная точка для каждого пучка параллельных прямых плоскости. Добавление этих точек порождает проективную плоскость, в которой никакую точку нельзя выделить, если мы "забываем", какие точки были добавлены. Это верно для геометрии над любым полем и, в более общем случае, над любым полем с делением. В реальном случае точка на бесконечности дополняет прямую до топологически замкнутой кривой. В более высоких размерностях все точки на бесконечности образуют проективное подпространство на одно измерение меньшее, чем у всего проективного пространства, которому они принадлежат. Точку на бесконечности также можно добавить к комплексной прямой (которую можно рассматривать как комплексную плоскость), тем самым превращая её в замкнутую поверхность, известную как комплексная проективная прямая, CP1, также называемая сферой Римана (когда комплексные числа отображаются на каждую точку). В случае гиперболического пространства каждая прямая имеет две различные идеальные точки. Здесь множество идеальных точек имеет вид квадрики.
Аффиновая геометрия
В аффинном или евклидовом пространстве более высокой размерности точки на бесконечности — это точки, которые добавляются к пространству для получения проективного замыкания. Множество точек на бесконечности называется, в зависимости от размерности пространства, линией на бесконечности, плоскостью на бесконечности или гиперплоскостью на бесконечности, во всех случаях представляя собой проективное пространство на один размер меньше. Поскольку проективное пространство над полем является гладким алгебраическим многообразием, то же справедливо и для множества точек на бесконечности. Аналогично, если базовое поле — действительное или комплексное, множество точек на бесконечности является многообразием.
Перспективы
В художественном рисунке и технической перспективе проекция на плоскости изображения точки на бесконечности семейства параллельных линий называется точкой схода.
Гиперболическая геометрия
В гиперболической геометрии точки в бесконечности обычно называются идеальными точками. В отличие от евклидовой и эллиптической геометрий, каждая прямая имеет две точки в бесконечности: для любой прямой l и точки P, не лежащей на l, правая и левая предельные параллельные сходятся асимптотически к различным точкам в бесконечности. Все точки в бесконечности вместе образуют абсолют Кейли или границу гиперболической плоскости.
Проективная геометрия
В проективной плоскости возникает симметрия между точками и прямыми: как пара точек определяет прямую, так и пара прямых определяет точку. Существование параллельных прямых приводит к введению точки на бесконечности, представляющей собой точку пересечения этих параллельных. Эта аксиоматическая симметрия выросла из изучения графической перспективы, где параллельная проекция возникает как центральная проекция, в которой центр C является точкой на бесконечности, или фигуративной точкой. Аксиоматическая симметрия точек и прямых называется двойственностью. Хотя точка на бесконечности рассматривается наравне с любой другой точкой проективного ряда, при представлении точек с помощью проективных координат отмечается различие: конечные точки представляются единицей в последней координате, а точка на бесконечности – нулем. Необходимость представления точек на бесконечности требует использования одной дополнительной координаты, выходящей за пределы пространства конечных точек.
Другие обобщения
Эта конструкция может быть обобщена на топологические пространства. Для данного пространства могут существовать различные компактификации, но любое топологическое пространство допускает расширение Александрова, которое также называется одноточечной компактификацией, если исходное пространство само по себе не является компактным. Проективная прямая (над произвольным полем) является расширением Александрова соответствующего поля. Таким образом, окружность является одноточечной компактификацией вещественной прямой, а сфера – одноточечной компактификацией плоскости. Проективные пространства Pn при n > 1 не являются одноточечными компактификациями соответствующих аффинных пространств по причине, указанной выше, и завершения гиперболических пространств с идеальными точками также не являются одноточечными компактификациями.