Кіріспе

Туындының дискретті аналогы

Шектеулі айырма – f(x + b) − f(x + a) түріндегі математикалық өрнек. Егер шектеулі айырманы b − a-ға бөлсек, айырмашылықтың қатынасы алынады. Туындыларды шектеулі айырмалармен жуықтау дифференциалдық теңдеулерді, әсіресе шекті мәндердің мәселелерін сандық түрде шешуге арналған шектеулі айырмалар әдістерінде орталық рөл атқарады. Әдетте символымен белгіленетін айырма операторы – бұл f функциясын функциясына бейнелейтін оператор, ол былай анықталады:

Айырма теңдеуі – бұл дифференциалдық теңдеу туындыларды қамтитын сияқты, шектеулі айырма операторын қамтитын функционалдық теңдеу. Айырма теңдеулері мен дифференциалдық теңдеулер арасында, әсіресе шешу әдістерінде көптеген ұқсастықтар бар. Кейбір рекурренттік қатынастарды итерациялық белгілерді шектеулі айырмалармен алмастыру арқылы айырма теңдеулері ретінде жазуға болады. Сандық талдауда шектеулі айырмалар туындыларды жуықтау үшін кеңінен қолданылады, ал «шектеулі айырма» термині көбінесе «туындыларды шектеулі айырмамен жуықтау» деген сөздің қысқартылған түрі ретінде қолданылады. Жоғарыда қолданылған терминологияда шектеулі айырма жуықтамалары – бұл шектеулі айырмашылық қатынаттары. Шектеулі айырмалар Брук Тейлормен 1715 жылы енгізілді және Джордж Бульдің (1860), Л. М. Милн Томсонның (1933) және Кароли Йорданның (1939) еңбектерінде абстрактілі, дербес математикалық объектілер ретінде зерттелді. Шектеулі айырмалардың тамыры шамамен 1592 жылға дейін Жост Бюргидің алгоритмдерінің біріне және Исаак Ньютонды қоса алғанда, басқалардың жұмысына барады. Шектеулі айырмалардың формалды есептеуін шексіз шағын есептеуге балама ретінде қарастыруға болады.

Негізгі түрлері

Үш негізгі түр қарастырылады: алға қарай, артқа қарай және орталық шекті айырмашылықтар. Тек ең жоғары дәрежелі мүшенің коэффициенті ғана сақталады. Бұл нәтиже x-ке қатысты тұрақты болғандықтан, кез келген келесі жұптық айырмашылықтың мәні 0 болады.

Индуктивті қадам

R(x) – m ≥ 2 болатын m − 1 дәрежелі көптік, ал ең жоғары дәрежелі терминнің коэффициенті a ≠ 0 болсын. Барлық m − 1 дәрежелі көптіктер үшін келесі шарт орындалады деп есептейік: S(x) – m дәрежелі көптік болсын. Бір жұптық айырмашылықты ескере отырып: ahm ≠ 0 болғандықтан, бұл T(x) – m − 1 дәрежелі көптікке әкеледі, онда ahm ең жоғары дәрежелі терминнің коэффициенті болады. Жоғарыда айтылған шартты және m − 1 жұптық айырмашылықты (S(x) үшін барлығы m жұптық айырмашылықты құрайды) ескере отырып, мынаны анықтауға болады: Бұл дәлелді аяқтайды.

Өздігінен өлшенген түйіршіктер

Сызықтық алгебраны қолдану арқылы, кез келген реттік туынды үшін бағалау нүктесінің сол жағындағы кез келген сандағы және оң жағындағы (мүмкін, басқаша) сандағы нүктелерді пайдаланатын шекті айырмашылық шамалауларын құрастыруға болады. Бұл бағалау нүктесінің маңындағы нүктелер қосындысының Тейлор қатарын ізделінетін туындының Тейлор қатарына ең жақын келтіретін сызықтық жүйенің шешілуін қамтиды. Мұндай формулаларды алтыбұрышты немесе ромб пішіндес торда графикалық түрде бейнелеуге болады. Бұл, торда функцияны дифференциалдау үшін пайдалы, онда тор шеттеріне жақындағанда бір жақтағы нүктелер саны азая түседі. Кез келген штембель және қажетті туынды реті берілгенде, стандартты емес (тіпті бүтін емес) штембельдер үшін шекті айырмашылық шамалауларын құрастыру мүмкін.

Дифференциалдық теңдеулерде

Шекті айырмашылықтардың маңызды қолданылуы сандық талдауда, әсіресе сандық дифференциалдық теңдеулерде, олар қалыпты және дербес дифференциалдық теңдеулерді сандық түрде шешуге бағытталған. Идеясы – дифференциалдық теңдеуде кездесетін туындыларды оларды жуықтайтын шекті айырмашылықтармен алмастыру. Соның нәтижесінде алынған әдістер шекті айырмашылық әдістері деп аталады. Шекті айырмашылық әдісінің кең таралған қолданылуы – есептеу ғылымы және инженерлік салаларда, мысалы, жылу инженериясы, сұйықтар механикасы және т.б.

Жалпылау

Жалпыланған шекті айырма әдетте 1=μ = (μ0, …, μN) коэффициенттері векторы ретінде анықталады. Шексіз айырмашылық – бұл жоғарыдағы шекті қосындыны шексіз қатармен алмастыру арқылы одан әрі жалпылау. Жалпылаудың тағы бір тәсілі – μk коэффициенттерін x нүктесіне тәуелді ету: 1=μk = μk(x), осылайша салмақталған шекті айырмашылықты қарастыру. Сондай-ақ, h қадамын x нүктесіне тәуелді етуге болады: 1=h = h(x). Мұндай жалпылаулар түрлі үздіксіздік модульдерін құру үшін пайдалы. Жалпыланған айырмашылықты R[Th] полиномдық сақинасы ретінде қарастыруға болады. Бұл айырма алгебраларына алып келеді. Айырма операторы ішінара реттелген жиынға қатысты Мёбиус инверсиясына жалпыланады. Конволюция операторы ретінде: Инциденттік алгебралардың формализмі арқылы айырма операторлары және басқа Мёбиус инверсияларын Мёбиус функциясы μ деп аталатын позиттегі функциямен конволюция арқылы көрсетуге болады; айырма операторы үшін μ – (1, -1, 0, 0, 0, ...) тізбегі.