Введение
Дискретный аналог производной
Конечная разность – это математическое выражение вида f(x + b) − f(x + a). Если конечную разность разделить на b − a, то получится частное разностей. Приближение производных с помощью конечных разностей играет центральную роль в методах конечных разностей для численного решения дифференциальных уравнений, особенно краевых задач. Оператор разности, обычно обозначаемый , является оператором, который отображает функцию f в функцию , определяемую как .
Уравнение в разностях – это функциональное уравнение, которое включает оператор конечных разностей так же, как дифференциальное уравнение включает производные. Между уравнениями в разностях и дифференциальными уравнениями существует много сходств, особенно в методах решения. Некоторые рекуррентные соотношения можно записать в виде уравнений в разностях, заменяя итерационную запись конечными разностями. В численном анализе конечные разности широко используются для приближения производных, и термин "конечная разность" часто используется как сокращение от "конечно-разностное приближение производной". Конечно-разностные приближения являются частными разностями в терминологии, используемой выше. Конечные разности были введены Бруком Тейлором в 1715 году и также изучались как абстрактные самостоятельные математические объекты в работах Джорджа Буля (1860), Л. М. Мильна-Томсона (1933) и Кароли Джордана [de] (1939). Происхождение конечных разностей восходит к одному из алгоритмов Йоста Бюрги (ок. 1592 г.) и работам других, включая Исаака Ньютона. Формальное исчисление конечных разностей можно рассматривать как альтернативу исчислению бесконечно малых.
Основные типы
Обычно рассматриваются три основных типа: прямые, обратные и центральные конечные разности. Остается только коэффициент члена высшего порядка. Поскольку этот результат постоянен относительно x, любые последующие попарные разности будут равны 0.
Индуктивный этап
Пусть R(x) — многочлен степени m − 1, где m ≥ 2 и коэффициент старшего члена a ≠ 0. Предположим, что следующее справедливо для всех многочленов степени m − 1: Пусть S(x) — многочлен степени m. Рассматривая попарные разности:
Let S(x) be a polynomial of degree m. With one pairwise difference:
As ahm ≠ 0, this results in a polynomial T(x) of degree m − 1, with ahm as the coefficient of the highest order term. Given the assumption above and m − 1 pairwise differences (resulting in a total of m pairwise differences for S(x)), it can be found that:
This completes the proof.
Поскольку ahm ≠ 0, это приводит к многочлену T(x) степени m − 1, где ahm является коэффициентом старшего члена. Учитывая вышеуказанное предположение и m − 1 попарных разностей (что в сумме дает m попарных разностей для S(x)), можно показать, что:
Let S(x) be a polynomial of degree m. With one pairwise difference:
As ahm ≠ 0, this results in a polynomial T(x) of degree m − 1, with ahm as the coefficient of the highest order term. Given the assumption above and m − 1 pairwise differences (resulting in a total of m pairwise differences for S(x)), it can be found that:
This completes the proof.
На этом доказательство завершено.
Let S(x) be a polynomial of degree m. With one pairwise difference:
As ahm ≠ 0, this results in a polynomial T(x) of degree m − 1, with ahm as the coefficient of the highest order term. Given the assumption above and m − 1 pairwise differences (resulting in a total of m pairwise differences for S(x)), it can be found that:
This completes the proof.
Ядра произвольного размера
Используя линейную алгебру, можно построить конечно-разностные приближения, использующие произвольное число точек слева и (возможно, отличающееся) число точек справа от точки вычисления для производной любого порядка. Это предполагает решение линейной системы, в которой разложение Тейлора суммы этих точек в окрестности точки вычисления наилучшим образом аппроксимирует разложение Тейлора искомой производной. Такие формулы можно графически представить на гексагональной или ромбовидной сетке. Это полезно для дифференцирования функции на сетке, где, по мере приближения к краю сетки, необходимо выбирать все меньше точек с одной стороны. Возможно построение конечно-разностных приближений для нестандартных (и даже нецелых) шаблонов, заданных произвольным шаблоном и требуемым порядком производной.
В дифференциальных уравнениях
Важным применением метода конечных разностей является численный анализ, особенно в области численных методов решения дифференциальных уравнений, направленных на получение численных решений обыкновенных и частных дифференциальных уравнений. Суть метода заключается в замене производных в дифференциальном уравнении конечными разностями, которые служат их приближением. Методы, основанные на таком подходе, называются методами конечных разностей. Широко применяются в вычислительной науке и различных инженерных дисциплинах, таких как теплотехника, гидромеханика и другие.
Обобщения
Обобщенная конечная разность обычно определяется как, где 1=μ = (μ0, …, μN) – ее вектор коэффициентов. Бесконечная разность – это дальнейшее обобщение, в котором конечная сумма выше заменяется бесконечным рядом. Другой способ обобщения заключается в том, чтобы коэффициенты μk зависели от точки x: 1=μk = μk(x), таким образом рассматривая взвешенную конечную разность. Также можно сделать шаг h зависимым от точки x: 1=h = h(x). Такие обобщения полезны для построения различных модулей непрерывности. Обобщенная разность может рассматриваться как кольцо полиномов R[Th]. Это приводит к разностным алгебрам. Оператор разности обобщается до инверсии Мёбиуса над частично упорядоченным множеством. Как оператор свертки: посредством формализма алгебр инцидентности операторы разности и другие инверсии Мёбиуса могут быть представлены сверткой с функцией на частично упорядоченном множестве, называемой функцией Мёбиуса μ; для оператора разности μ является последовательностью (1, −1, 0, 0, 0, …).