Кіріспе
Математикалық ұғым
Категория теориясында, математиканың бір саласы, шектің абстрактілік түсінігі өнімдер, кері тартылымдар және кері шектер сияқты әмбебап құрылымдардың маңызды қасиеттерін бейнелейді. Колимит – бұл ұғымның қос түрі, ол дизъюнктивтік біріктірулер, тікелей қосындылар, копродукттер, итерулер және тікелей шектер сияқты құрылымдарды жалпылайды. Шектер мен колимиттер, сондай-ақ тығыз байланысты жалпы қасиеттер мен түйіндес функторлар ұғымдарымен бірге, абстракцияның жоғары деңгейінде қарастырылады. Оларды түсіну үшін, бұл ұғымдардың жалпылауға бағытталған нақты мысалдарымен танысуға болады.
Анықтама
Категориядағы лимиттер мен колимиттер диаграммалар арқылы анықталады. Формальды түрде, категориясындағы пішіндегі диаграмма — бұл -дан -ға дейінгі функтор. категориясы индекстік категория ретінде қарастырылады, ал диаграмма -дағы нысандар мен морфизмдер жиынтығын үлгісінде индекстеу ретінде қарастырылады. Әдетте, категориясы кішкентай немесе тіпті шекті болған жағдайда қызығушылық тудырады. болған жағдайда диаграмма кішкентай немесе шекті деп айтылады.
The category is thought of as an index category, and the diagram is thought of as indexing a collection of objects and morphisms in patterned on
One is most often interested in the case where the category is a small or even finite category. A diagram is said to be small or finite whenever is.
Вариациялар
Лимиттер мен колимиттерді нысандар мен морфизмдер жинақтары үшін диаграммаларды пайдаланбастан да анықтауға болады. Анықтамалар сол күйінде қалады (жоғарыдағы анықтамаларда морфизмдердің қосылуын ешқашан қолданбауға тура келгенін ескеріңіз). Дегенмен, бұл өзгеріс жаңа ақпарат қосбайды. Кез келген нысандар мен морфизмдер жинағы (мүмкін, үлкен) бағытталған графты анықтайды. Егер біз арқылы жасалған бос категорияны алсақ, онда оның бейнесі қамтитын әмбебап диаграмма болады. Осы диаграмманың лимиті (немесе колимиті) бастапқы нысандар мен морфизмдер жинағының лимитімен (немесе колимитімен) бірдей. Әлсіз лимит және әлсіз колимит лимиттер мен колимиттер сияқты анықталады, бірақ аралық морфизмнің бірегейлік қасиеті алынып тасталады.
Шектіліктерді алып тастау
G: C → D функторы F: J → C диаграммасының лимиттерін көтереді, егер (L, φ) GF лимиті болса, онда F лимиті (L′, φ′) бар, сонда G(L′, φ′) = (L, φ) болады. G функторы J пішінінің лимиттерін көтереді, егер ол J пішінінің барлық диаграммаларының лимиттерін көтереді. Сондықтан лимиттерді көтеру өнімдері, теңестірушілер, кері тартылымдар және т.б. туралы айтуға болады. Соңында, G барлық лимиттерді көтерсе, лимиттерді көтереді деп айтылады. Колимиттерді көтеруге қатысты екі түрлі анықтама бар. G функторы F диаграммасының лимиттерін бірегей түрде көтереді, егер бірегей кері бейне конусы (L′, φ′) болса, онда (L′, φ′) F лимиті болып табылады және G(L′, φ′) = (L, φ) болады. G лимиттерді бірегей түрде көтеретінін, егер ол лимиттерді көтеретін болса және амнестикалық болса ғана көрсетуге болады. Лимиттерді көтеру лимиттерді сақтаумен байланысты. Егер G F диаграммасының лимиттерін көтереді және GF лимиті болса, онда F лимиті де бар және G F лимиттерін сақтайды. Осыдан мынасы келіп шығады: Егер G J пішінінің барлық лимиттерін көтереді және D J пішінінің барлық лимиттерін сақтайды, онда C-де J пішінінің барлық лимиттері бар және G осы лимиттерді сақтайды. Егер G барлық кіші лимиттерді көтерсе және D толық болса, онда C де толық және G үздіксіз. Колимиттерге қатысты екі тұжырым да бірдей жарамды.
If G lifts limits of all shape J and D has all limits of shape J, then C also has all limits of shape J and G preserves these limits. If G lifts all small limits and D is complete, then C is also complete and G is continuous. The dual statements for colimits are equally valid.
Мысалдар
Кез келген бейнеленетін функтор C → Жиынтық шектерді сақтайды (бірақ міндетті түрде кошектерді сақтамайды). Атап айтқанда, кез келген A C объектісі үшін, бұл ковариантты гомоморфизм функторы Hom(A,–) : C → Жиынтық үшін де дұрыс. Ұмытушы функтор U : Grp → Жиынтық барлық кіші шектерді және сүзгіленген кошектерді жасайды (және сақтайды); алайда U копродукттарды сақтамайды. Бұл жағдай алгебралық ұмытушы функторларға тән. F : Жиынтық → Grp еркін функторы (әрбір S жиынына S үстінен еркін топты тағайындайтын) ұмытушы U функторына сол жаққа жалғаулы және сондықтан коконтинуасты. Бұл екі еркін топтың G және H еркін көбейтіндісінің G және H генераторларының біріккен жиынынан жасалған еркін топқа қалай айналатынын түсіндіреді. Ab → Grp кіріктіру функторы шектерді жасайды, бірақ копродукттарды сақтамайды (екі абельдік топтың копродукты тікелей қосынды болады). Ұмытушы функтор Top → Жиынтық шектер мен кошектерді бірегей түрде көтереді, бірақ ешқайсысын да жарамайды. Metc метрикалық кеңістіктердің санаттарын үздіксіз функциялар морфизмдер ретінде белгілейік. Metc → Жиынтық ұмытушы функторы шекті шектерді көтереді, бірақ оларды бірегей түрде көтере алмайды.
The inclusion functor Ab → Grp creates limits but does not preserve coproducts (the coproduct of two abelian groups being the direct sum). The forgetful functor Top → Set lifts limits and colimits uniquely but creates neither. Let Metc be the category of metric spaces with continuous functions for morphisms. The forgetful functor Metc → Set lifts finite limits but does not lift them uniquely.