Введение

Математическая концепция

В теории категорий, области математики, абстрактное понятие предела отражает существенные свойства универсальных конструкций, таких как произведения, оттягивания и обратные пределы. Двойственное понятие копредела обобщает такие конструкции, как дизъюнктные объединения, прямые суммы, копроизведения, сцепления и прямые пределы. Пределы и копределы, как и тесно связанные понятия универсальных свойств и сопряжённых функторов, существуют на высоком уровне абстракции. Чтобы их понять, полезно сначала изучить конкретные примеры, которые эти понятия призваны обобщить.

Определение

Пределы и колимиты в категории определяются с помощью диаграмм. Формально, диаграмма формы *D* в категории *C* — это функтор из *D* в *C*:

Категория *D* рассматривается как индексная категория, а диаграмма — как индексация семейства объектов и морфизмов в *C*, заданного структурой *D*. Чаще всего рассматривают случай, когда категория *D* — малая или даже конечная категория. Диаграмма называется малой или конечной, если мала или конечна категория *D*.

Вариации

Границы и колимиты также могут быть определены для коллекций объектов и морфизмов без использования диаграмм. Определения остаются теми же (обратите внимание, что в вышеприведенных определениях нам никогда не требовалось использовать композицию морфизмов). Однако, это представление не добавляет никакой новой информации. Любая коллекция объектов и морфизмов определяет (возможно, большое) ориентированное множество. Если обозначить свободную категорию, порожденную этой коллекцией, как , то существует универсальная диаграмма, образ которой содержит исходную коллекцию. Предел (или колимит) этой диаграммы совпадает с пределом (или колимитом) исходной коллекции объектов и морфизмов. Слабый предел и слабый колимит определяются аналогично пределам и колимитам, за исключением того, что требование единственности опосредующего морфизма снимается.

Снятие ограничений

Функтор G : C → D называется поднимающим пределы для диаграммы F : J → C, если для любого предела (L, φ) композиции GF существует предел (L′, φ′) диаграммы F, такой что G(L′, φ′) = (L, φ). Функтор G поднимает пределы формы J, если он поднимает пределы для всех диаграмм формы J. Таким образом, можно говорить о подъеме произведений, эквалайзеров, оттягиваний и т.д. Наконец, говорят, что G поднимает все пределы, если он поднимает все пределы. Существуют двойственные определения для подъема колимитов. Функтор G поднимает пределы однозначно для диаграммы F, если существует единственный конус прообраза (L′, φ′), такой что (L′, φ′) является пределом диаграммы F и G(L′, φ′) = (L, φ). Можно показать, что G поднимает пределы однозначно тогда и только тогда, когда он поднимает пределы и является амнестическим. Подъем пределов тесно связан с сохранением пределов. Если G поднимает пределы для диаграммы F и GF имеет предел, то F также имеет предел, и G сохраняет пределы диаграммы F. Следовательно:
Если G поднимает пределы всех форм J и D имеет все пределы формы J, то C также имеет все пределы формы J и G сохраняет эти пределы. Если G поднимает все малые пределы и D полна, то C также полна и G непрерывна. Двойственные утверждения для колимитов также верны.

Примеры

Каждый представляемый функтор C → Множество сохраняет пределы (но не обязательно колимиты). В частности, для любого объекта A из C это верно для ковариантного функтора Hom(A, –) : C → Set. Забывающий функтор U : Grp → Set создает (и сохраняет) все малые пределы и фильтрованные колимиты; однако U не сохраняет копроизведения. Эта ситуация типична для алгебраических забывающих функторов. Свободный функтор F : Set → Grp (который сопоставляет каждому множеству S свободную группу над S) является левым сопряженным к забывающему функтору U и, следовательно, коконтинуальным. Это объясняет, почему свободное произведение двух свободных групп G и H является свободной группой, порожденной дизъюнктным объединением генераторов G и H. Функтор включения Ab → Grp создает пределы, но не сохраняет копроизведения (копроизведение двух абелевых групп является прямой суммой). Забывающий функтор Top → Set поднимает пределы и колимиты единственным образом, но не создает ни пределы, ни колимиты. Пусть Metc — категория метрических пространств с непрерывными функциями в качестве морфизмов. Забывающий функтор Metc → Set поднимает конечные пределы, но не поднимает их единственным образом.