Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Топологиялық кеңістіктің негізгі кіші жиыны
Basic subset of a topological space
Математикада ашық жиын – нақты түзудегі ашық аралықтың обобшамасы. Метрикалық кеңістікте (екі кез келген нүкте арасындағы қашықтық анықталған жиын) ашық жиын – бұл әрбір P нүктесімен бірге P-ге жеткілікті жақын барлық нүктелерді қамтитын жиын (яғни, P-ге дейінгі қашықтығы P-ге байланысты белгілі бір мәннен кем болатын барлық нүктелер). Көбінесе, ашық жиын – берілген жиынның кіші жиынтар жиынтығының мүшесі, мұнда жиынның кез келген біріктірілісі, мүшелерінің кез келген шекті қиылысы, бос жиын және толық жиын кіреді. Мұндай жиын топологиялық кеңістік деп аталады, ал жиын – топология деп аталады. Бұл шарттар өте икемді, ашық жиындарды таңдауда үлкен мүмкіндіктер береді. Мысалы, кез келген кіші жиын ашық болуы мүмкін (дискретті топология), немесе кеңістік пен бос жиыннан басқа ешбір кіші жиын ашық болмауы мүмкін (индискретті топология). Бірақ практикада ашық жиындар көбінесе метрикалық кеңістіктердегідей жақындық ұғымын беру үшін таңдалады, бірақ қашықтық ұғымы анықталмайды. Атап айтқанда, топология қашықтық арқылы бастапқыда анықталған үздіксіздік, байланыстылық және компакттылық сияқты қасиеттерді анықтауға мүмкіндік береді. Қашықтығы жоқ топологияның ең көп таралған мысалы – көптіктер, олар топологиялық кеңістіктер болып табылады, олардың әрбір нүктесіне жақын Евклид кеңістігінің ашық жиынына ұқсайды, бірақ жалпы алғанда қашықтық анықталмайды. Басқа математика салаларында интуитивті емес топологиялар да қолданылады; мысалы, алгебралық геометрия мен схемалар теориясындағы негізгі Зариски топологиясы.
In mathematics, an open set is a generalization of an open interval in the real line. In a metric space (a set along with a distance defined between any two points), an open set is a set that, along with every point P, contains all points that are sufficiently near to P (that is, all points whose distance to P is less than some value depending on P). More generally, an open set is a member of a given collection of subsets of a given set, a collection that has the property of containing every union of its members, every finite intersection of its members, the empty set, and the whole set itself. A set in which such a collection is given is called a topological space, and the collection is called a topology. These conditions are very loose, and allow enormous flexibility in the choice of open sets. For example, every subset can be open (the discrete topology), or no subset can be open except the space itself and the empty set (the indiscrete topology). In practice, however, open sets are usually chosen to provide a notion of nearness that is similar to that of metric spaces, without having a notion of distance defined. In particular, a topology allows defining properties such as continuity, connectedness, and compactness, which were originally defined by means of a distance. The most common case of a topology without any distance is given by manifolds, which are topological spaces that, near each point, resemble an open set of a Euclidean space, but on which no distance is defined in general. Less intuitive topologies are used in other branches of mathematics; for example, the Zariski topology, which is fundamental in algebraic geometry and scheme theory.
Мотивация
Интуитивті түрде, ашық жиын екі нүктені ажырату әдісін ұсынады. Мысалы, егер топологиялық кеңістіктегі екі нүктенің бірі туралы, екіншісін (әр түрлі) қамтымайтын ашық жиын болса, онда екі нүкте топологиялық тұрғыдан ажыратылатын болады. Осылайша, екі нүкте, немесе жалпы алғанда екі ішкі жиын, топологиялық кеңістікте қашықтықты нақты анықтамай "жақын" екенін айтуға болады. Сондықтан, топологиялық кеңістіктерді қашықтық ұғымымен жабдықталған кеңістіктердің жалпыламасы ретінде қарастыруға болады, олар метрикалық кеңістіктер деп аталады. Нақты сандар жиынында табиғи Эвклидтік метрика бар, яғни екі нақты сан арасындағы қашықтықты өлшейтін функция. Сондықтан, нақты сан x берілген болса, сол нақты санға жақын барлық нүктелер жиыны туралы айтуға болады, яғни x-тен ε қашықтықтағы нүктелер. Негізінде, x-тен ε қашықтықтағы нүктелер x-ті ε дәлдігімен жуықтайды. ε > 0 әрқашан, бірақ ε кішірейген сайын, x-ке жоғары дәлдікпен жуықтайтын нүктелер алынады. Мысалы, егер x = 0 және ε = 1 болса, x-тен ε қашықтықтағы нүктелер (−1, 1) аралығындағы нүктелер болады, яғни −1 мен 1 арасындағы барлық нақты сандар жиыны. Алайда, ε = 0.5 болса, x-тен ε қашықтықтағы нүктелер (−0.5, 0.5) нүктелері болады. Бұл нүктелер x-ті ε = 1 болған кездегіден де жоғары дәлдікпен жуықтайды. Бұрынғы талқылау x = 0 жағдайында, ε-ны кішірейту арқылы x-ті кез келген дәлдікпен жуықтауға болатынын көрсетеді. Әсіресе, (−ε, ε) жиындары x = 0-ге жақын нүктелер туралы көп ақпарат береді. Сондықтан, нақты Эвклидтік метрика туралы айтудың орнына, x-ке жақын нүктелерді сипаттау үшін жиындарды қолдануға болады. Бұл жаңа идеяның кең салдары бар; атап айтқанда, 0-ді қамтитын әртүрлі жиындарды анықтау арқылы ((-ε, ε) жиынынан өзгеше), 0 мен басқа нақты сандар арасындағы қашықтыққа қатысты әртүрлі нәтижелер алуға болады. Мысалы, егер R-ді "қашықтықты өлшеу" үшін жалғыз жиын ретінде анықтасақ, барлық нүктелер 0-ге жақын болады, себебі 0-ге жуықтауда тек бір ғана дәлдік деңгейіне қол жеткізуге болады: R-дің мүшесі болу. Осылайша, әрбір нақты сан 0-ден 0 қашықтықта екенін көреміз. Бұл жағдайда өлшемді екілік шарт ретінде қарастыруға болады: R-дегі барлық нәрсе 0-ге бірдей жақын, ал R-де жоқ кез келген элемент 0-ге жақын емес. Жалпы алғанда, 0-ге жуықтау үшін қолданылатын 0-ді қамтитын жиындар жиынтығына көршілік негізі деп сілтеме жасалады; осы көршілік негізінің мүшесі ашық жиын деп аталады. Шындығында, бұл ұғымдарды тек нақты сандар емес, кез келген жиынтыққа (X) жалпылауға болады. Бұл жағдайда, жиынның (x) нүктесі берілген болса, x-ті жуықтау үшін қолданылатын "айналасындағы" (яғни қамтитын) x жиынын анықтауға болады. Әрине, бұл жиынтық белгілі бір қасиеттерді қанағаттандыруы керек (аксиомалар деп аталады), әйтпесе қашықтықты өлшеудің дұрыс әдісі болмайды. Мысалы, X-тің әрбір нүктесі x-ке белгілі бір дәрежеде жақын болуы керек. Сондықтан X осы жиынтықта болуы керек. "Кіші" жиындарды x-ті қамтитын етіп анықтағаннан кейін, біз x-ті жоғары дәлдікпен жуықтауға бейімбіз. Осыны ескере отырып, x-ке қатысты жиындар жиынтығының қанағаттандыруы қажет қалған аксиомаларды анықтауға болады.
Intuitively, an open set provides a method to distinguish two points. For example, if about one of two points in a topological space, there exists an open set not containing the other (distinct) point, the two points are referred to as topologically distinguishable. In this manner, one may speak of whether two points, or more generally two subsets, of a topological space are "near" without concretely defining a distance. Therefore, topological spaces may be seen as a generalization of spaces equipped with a notion of distance, which are called metric spaces. In the set of all real numbers, one has the natural Euclidean metric; that is, a function which measures the distance between two real numbers: Therefore, given a real number x, one can speak of the set of all points close to that real number; that is, within ε of x. In essence, points within ε of x approximate x to an accuracy of degree ε. Note that ε > 0 always but as ε becomes smaller and smaller, one obtains points that approximate x to a higher and higher degree of accuracy. For example, if x = 0 and ε = 1, the points within ε of x are precisely the points of the interval (−1, 1); that is, the set of all real numbers between −1 and 1. However, with ε = 0.5, the points within ε of x are precisely the points of (−0.5, 0.5). Clearly, these points approximate x to a greater degree of accuracy than when ε = 1. The previous discussion shows, for the case x = 0, that one may approximate x to higher and higher degrees of accuracy by defining ε to be smaller and smaller. In particular, sets of the form (−ε, ε) give us a lot of information about points close to x = 0. Thus, rather than speaking of a concrete Euclidean metric, one may use sets to describe points close to x. This innovative idea has far reaching consequences; in particular, by defining different collections of sets containing 0 (distinct from the sets (−ε, ε)), one may find different results regarding the distance between 0 and other real numbers. For example, if we were to define R as the only such set for "measuring distance", all points are close to 0 since there is only one possible degree of accuracy one may achieve in approximating 0: being a member of R. Thus, we find that in some sense, every real number is distance 0 away from 0. It may help in this case to think of the measure as being a binary condition: all things in R are equally close to 0, while any item that is not in R is not close to 0. In general, one refers to the family of sets containing 0, used to approximate 0, as a neighborhood basis; a member of this neighborhood basis is referred to as an open set. In fact, one may generalize these notions to an arbitrary set (X); rather than just the real numbers. In this case, given a point (x) of that set, one may define a collection of sets "around" (that is, containing) x, used to approximate x. Of course, this collection would have to satisfy certain properties (known as axioms) for otherwise we may not have a well defined method to measure distance. For example, every point in X should approximate x to some degree of accuracy. Thus X should be in this family. Once we begin to define "smaller" sets containing x, we tend to approximate x to a greater degree of accuracy. Bearing this in mind, one may define the remaining axioms that the family of sets about x is required to satisfy.
Анықтамалар
Мұнда техникалық деңгейі жоғарылап келетін бірнеше анықтама келтірілген. Әрқайсысы келесісінің арнайы жағдайы болып табылады.
Several definitions are given here, in an increasing order of technicality. Each one is a special case of the next one.
Евклид кеңістігі
Евклидтік n кеңістігінің R^(n) кіші жиыны ашық деп аталады, егер әрбір x нүктесі үшін оң нақты сан ε (x-ке тәуелді) болса, онда R^(n) кез келген нүктесі, егер оның x-тен евклидтік қашықтығы ε-дан кіші болса, сол кіші жиынға жатады. Басқаша айтқанда, R^(n) кіші жиыны ашық, егер оның әрбір нүктесі сол жиынға толығымен кіретін ашық шардың орталығы болса.
A subset of the Euclidean n space 'R'^(n) is open if, for every point x in , there exists a positive real number ε (depending on x) such that any point in 'R'^(n) whose Euclidean distance from x is smaller than ε belongs to Equivalently, a subset of 'R'^(n) is open if every point in is the center of an open ball contained in
R ашық емес R^(n) кіші жиынының мысалы – жабық аралық [0, 1], себебі кез келген ε > 0 үшін, қаншалықты кішкентай болса да, 0 - ε және 1 + ε аралыққа жатпайды.
An example of a subset of 'R' that is not open is the closed interval , since neither 0 ε nor 1 + ε belongs to for any ε > 0, no matter how small.
Метрлік кеңістік
Метриялық кеңістік (M, d)-тің U ішкі жиыны ашық деп аталады, егер U-дағы кез келген x нүктесі үшін ε > 0 нақты саны болса, онда d(x, y) < ε шартын қанағаттандыратын кез келген y нүктесі U-ға жатады. Балама ретінде, U ашық деп аталады, егер U-дағы әрбір нүктенің U-ға толығымен кіретін маңызы болса. Бұл Евклид кеңістігінің мысалын жалпылайды, себебі Евклид қашықтығымен жабдықталған Евклид кеңістігі – метриялық кеңістік болып табылады.
A subset U of a metric space (M, d) is called open if, for any point x in U, there exists a real number ε > 0 such that any point satisfying d(x, y) < ε belongs to U. Equivalently, U is open if every point in U has a neighborhood contained in U. This generalizes the Euclidean space example, since Euclidean space with the Euclidean distance is a metric space.
Ашық және жабық емес жиынтықтар
Жинақ ашық, жабық, екеуі де немесе екеуі де болмауы мүмкін. Атап айтқанда, ашық және жабық жиынтықтар бір-бірін мұрағаттамайды, яғни топологиялық кеңістіктің кіші жиынтығы бір мезгілде ашық және жабық кіші жиынтық болуы мүмкін. Мұндай кіші жиынтықтар клопен жиынтықтар деп аталады. Топологиялық кеңістіктің кіші жиынтығы клопен деп аталады, егер оның өзі және оның толықтығы да ашық кіші жиынтықтар болса; немесе эквивалентті түрде, егер және .
A set might be open, closed, both, or neither. In particular, open and closed sets are not mutually exclusive, meaning that it is in general possible for a subset of a topological space to simultaneously be both an open subset and a closed subset. Such subsets are known as clopen sets. Explicitly, a subset of a topological space is called clopen if both and its complement are open subsets of ; or equivalently, if and
Кез келген топологиялық кеңістікте бос жиынтық және жиынтықтың өзі әрқашан клопен болады. Бұл екі жиын клопен кіші жиынның ең белгілі мысалдары және олар клопен кіші жиынның әрбір топологиялық кеңістікте бар екенін көрсетеді. жабық екенін түсіну үшін, жиынтықтар мен анықтамасы бойынша әрқашан ашық (of) кіші жиынтықтар екенін еске түсірейік. Сондай-ақ, анықтамасы бойынша, кіші жиынтық жабық деп аталады, егер (және тек егер) оның кеңістіктегі толықтығы ашық жиынтық болса. Бүкіл жиынның толықтығы (in) бос жиын (яғни) болғандықтан, ол ашық кіші жиын, яғни ол (жабық кіші жиынның) жабық кіші жиын. Сондықтан, бүкіл кеңістікте қандай топология орналастырылғанына қарамастан, ол бір мезгілде ашық кіші жиынтық және сонымен қатар жабық кіші жиынтық; басқаша айтқанда, әрқашан клопен кіші жиынтық болып табылады. Бос жиынтықтың толықтығы жиынтық болғандықтан, ол ашық кіші жиын, сол себепті де клопен кіші жиынтық екенін қорытындылауға болады.
In any topological space the empty set and the set itself are always clopen. These two sets are the most well known examples of clopen subsets and they show that clopen subsets exist in every topological space. To see why is clopen, begin by recalling that the sets and are, by definition, always open subsets (of ). Also by definition, a subset is called closed if (and only if) its complement in which is the set is an open subset. Because the complement (in ) of the entire set is the empty set (i. e. ), which is an open subset, this means that is a closed subset of (by definition of "closed subset"). Hence, no matter what topology is placed on the entire space is simultaneously both an open subset and also a closed subset of ; said differently, is always a clopen subset of Because the empty set's complement is which is an open subset, the same reasoning can be used to conclude that is also a clopen subset of
Евклидтік топологиямен жабдықталған нақты сызықты қарастырайық, оның ашық жиынтықтары былайша анықталады: нақты сандардың әрбір аралығы топологияға жатады, мұндай аралықтардың кез келген бірігімі топологияға жатады, және әрқашан сияқты, екеуі де топологияға жатады. Аралық Евклидтік топологияда ашық, өйткені ол топологияға жатады. Егерде оның толықтығы ашық болса, онда ол жабық болар еді. Бірақ оның ашық толықтығы жоқ; оның толықтығы , ол формасының ашық аралықтарының бірігімі болмағандықтан Евклидтік топологияға жатпайды. Сондықтан ол ашық, бірақ жабық емес жиынның мысалы болып табылады. Осыған ұқсас аргумент бойынша, аралық жабық, бірақ ашық емес кіші жиын. Ақырында, Евклидтік топологияға оның өзі немесе оның толықтығы жатпайтындықтан (оны түріндегі аралықтардың бірігімі ретінде жазуға болмайды), бұл ашық немесе жабық емес дегенді білдіреді. Егер топологиялық кеңістік дискретті топологиямен жабдықталған болса (яғни, анықтамасы бойынша, кез келген кіші жиынтық ашық болса), онда кез келген кіші жиынтық клопен кіші жиынтық болады. Дискретті топологияны еске түсіретін озық мысал үшін, бос емес жиынтықтағы ультрафильтрді қарастырайық. Содан кейін бірігімі – бұл кеңістіктегі топология, онда кез келген бос емес өзіндік кіші жиынтық ашық немесе жабық кіші жиынтық болады, бірақ ешқашан екеуі де емес; яғни, егер (ерде) болса, онда келесі екі мәлімдемелердің бірі дұрыс: (1) немесе (2) . Басқаша айтқанда, кез келген кіші жиынтық ашық немесе жабық, бірақ екеуі де (яғни клопен) кіші жиынтықтар ғана және .
Consider the real line endowed with its usual Euclidean topology, whose open sets are defined as follows: every interval of real numbers belongs to the topology, every union of such intervals, e. g. belongs to the topology, and as always, both and belong to the topology. The interval is open in because it belongs to the Euclidean topology. If were to have an open complement, it would mean by definition that were closed. But does not have an open complement; its complement is which does not belong to the Euclidean topology since it is not a union of open intervals of the form Hence, is an example of a set that is open but not closed. By a similar argument, the interval is a closed subset but not an open subset. Finally, since neither nor its complement belongs to the Euclidean topology (because it can not be written as a union of intervals of the form ), this means that is neither open nor closed. If a topological space is endowed with the discrete topology (so that by definition, every subset of is open) then every subset of is a clopen subset. For a more advanced example reminiscent of the discrete topology, suppose that is an ultrafilter on a non empty set Then the union is a topology on with the property that every non empty proper subset of is either an open subset or else a closed subset, but never both; that is, if (where ) then exactly one of the following two statements is true: either (1) or else, (2) Said differently, every subset is open or closed but the only subsets that are both (i. e. that are clopen) are and
Қасиеттері
Кез келген саны бар ашық жиынтықтардың бірігуі, немесе шексіз көп ашық жиынтықтардың бірігуі ашық болады. Ашық жиынтықтардың шектеулі санының қиылысы ашық болады.
The union of any number of open sets, or infinitely many open sets, is open. The intersection of a finite number of open sets is open.
"Ашық" белгілі бір топологияға қатысты анықталады
Жинақтың ашық болуы қарастырылып отырған топологияға байланысты. Ықшамдық үшін, топологиямен жабдықталған X жиынтығын "топологиялық кеңістік X" деп атаймыз, "топологиялық кеңістік" деп емес, барлық топологиялық мәліметтер топологияда қамтылғандықтан. Егер бір жиынтықта екі топология болса, бірінші топологияда ашық U жиынтығы екінші топологияда ашық болмауы мүмкін. Мысалы, егер X кез келген топологиялық кеңістік болса және Y X-тің кез келген ішкі жиынтығы болса, Y жиынтығына өзінің топологиясы ("ішкі кеңістік топологиясы" деп аталады) берілуі мүмкін, ол былай анықталады: "U жиынтығы Y-дегі ішкі кеңістік топологиясында ашық, егер және тек қана U, X-тегі бастапқы топологиядан алынған ашық жиынтықпен Y-тің қиылысы болса". Бұл жаңа ашық жиынтықтарды енгізуге мүмкіндік береді: егер V X-тегі бастапқы топологияда ашық болса, бірақ X-тегі бастапқы топологияда ашық болмаса, онда Y-дегі ішкі кеңістік топологиясында ашық болады. Бұған нақты мысал ретінде, егер U интервалдағы рационал сандар жиыны ретінде анықталса, онда U рационал сандардың ашық ішкі жиыны, бірақ нақты сандар емес. Себебі, айналадағы кеңістік рационал сандар болса, U-дағы әр x нүктесі үшін, a-дан үлкен оң сан бар, сондықтан x-тен a қашықтығындағы барлық рационал нүктелер де U-да болады. Ал егер айналадағы кеңістік нақты сандар болса, онда U-дағы әр x нүктесі үшін мұндай оң a жоқ, яғни x-тен a қашықтығындағы барлық нақты нүктелер U-да болады (себебі U-да иррационал сандар жоқ).
Whether a set is open depends on the topology under consideration. Having opted for greater brevity over greater clarity, we refer to a set X endowed with a topology as "the topological space X" rather than "the topological space ", despite the fact that all the topological data is contained in If there are two topologies on the same set, a set U that is open in the first topology might fail to be open in the second topology. For example, if X is any topological space and Y is any subset of X, the set Y can be given its own topology (called the 'subspace topology') defined by "a set U is open in the subspace topology on Y if and only if U is the intersection of Y with an open set from the original topology on X." This potentially introduces new open sets: if V is open in the original topology on X, but isn't open in the original topology on X, then is open in the subspace topology on Y. As a concrete example of this, if U is defined as the set of rational numbers in the interval then U is an open subset of the rational numbers, but not of the real numbers. This is because when the surrounding space is the rational numbers, for every point x in U, there exists a positive number a such that all rational points within distance a of x are also in U. On the other hand, when the surrounding space is the reals, then for every point x in U there is no positive a such that all real points within distance a of x are in U (because U contains no non rational numbers).