Открытое множество в топологическом пространстве

Введение

В математике открытое множество является обобщением открытого интервала на действительной прямой. В метрическом пространстве (множестве, в котором определено расстояние между любыми двумя точками), открытое множество – это множество, которое вместе с каждой точкой P содержит все точки, достаточно близкие к P (то есть все точки, расстояние от которых до P меньше некоторого значения, зависящего от P). В более общем смысле, открытое множество является элементом заданной коллекции подмножеств заданного множества, коллекции, обладающей свойством содержать любое объединение своих элементов, любое конечное пересечение своих элементов, пустое множество и само множество. Множество, для которого задана такая коллекция, называется топологическим пространством, а коллекция – топологией. Эти условия весьма общие и допускают огромную гибкость в выборе открытых множеств. Например, каждое подмножество может быть открытым (дискретная топология), или ни одно подмножество, кроме самого пространства и пустого множества, не может быть открытым (недискретная топология). Однако на практике открытые множества обычно выбираются таким образом, чтобы обеспечить понятие близости, аналогичное понятию в метрических пространствах, без определения понятия расстояния. В частности, топология позволяет определять такие свойства, как непрерывность, связность и компактность, которые первоначально определялись с использованием расстояния. Наиболее распространенным примером топологии без какого-либо расстояния являются многообразия, представляющие собой топологические пространства, которые в окрестности каждой точки подобны открытому множеству евклидова пространства, но на которых расстояние, как правило, не определено. Менее интуитивные топологии используются в других областях математики, например, топология Зариски, которая является фундаментальной в алгебраической геометрии и теории схем.

Мотивация

Интуитивно, открытое множество предоставляет метод для различения двух точек. Например, если для одной из двух точек в топологическом пространстве существует открытое множество, не содержащее другую (отличную) точку, то эти две точки называются топологически различимыми. Таким образом, можно говорить о том, являются ли две точки, или, в более общем случае, два подмножества топологического пространства "близкими", не определяя конкретно расстояние. Следовательно, топологические пространства можно рассматривать как обобщение пространств, снабженных понятием расстояния, которые называются метрическими пространствами. В множестве всех действительных чисел существует естественная евклидова метрика, то есть функция, измеряющая расстояние между двумя действительными числами. Поэтому, задав действительное число x, можно говорить о множестве всех точек, близких к этому действительному числу, то есть находящихся на расстоянии не более ε от x. По сути, точки, находящиеся на расстоянии не более ε от x, приближают x с точностью до ε. Следует отметить, что ε > 0 всегда, но по мере уменьшения ε точки приближаются к x со все большей и большей точностью. Например, если x = 0 и ε = 1, то точки, находящиеся на расстоянии не более ε от x, составляют интервал (−1, 1), то есть множество всех действительных чисел между −1 и 1. Однако, при ε = 0.5, точки, находящиеся на расстоянии не более ε от x, составляют интервал (−0.5, 0.5). Очевидно, что эти точки приближают x с большей точностью, чем при ε = 1. Предыдущее обсуждение показывает, что для случая x = 0 можно приближать x с произвольной точностью, уменьшая ε. В частности, множества вида (−ε, ε) дают много информации о точках, близких к x = 0. Таким образом, вместо того чтобы говорить о конкретной евклидовой метрике, можно использовать множества для описания точек, близких к x. Эта новаторская идея имеет далеко идущие последствия; в частности, определяя различные семейства множеств, содержащих 0 (отличные от множеств (−ε, ε)), можно получить различные результаты относительно расстояния между 0 и другими действительными числами. Например, если определить R как единственное такое множество для "измерения расстояния", то все точки будут близки к 0, поскольку существует только одна возможная степень точности при приближении к 0 – принадлежность к R. Таким образом, мы приходим к выводу, что в некотором смысле каждое действительное число находится на расстоянии 0 от 0. В этом случае может быть полезно рассматривать меру как бинарное условие: все элементы в R одинаково близки к 0, а любой элемент, не входящий в R, не близок к 0. В общем случае семейство множеств, содержащих 0 и используемых для приближения к 0, называется окрестностной базой, а элемент этой окрестностной базы называется открытым множеством. Фактически, эти понятия можно обобщить на произвольное множество (X), а не только на действительные числа. В этом случае, задав точку (x) этого множества, можно определить семейство множеств "вокруг" (то есть, содержащих) x, используемых для приближения к x. Конечно, это семейство должно удовлетворять определенным свойствам (известным как аксиомы), иначе у нас не будет четко определенного метода измерения расстояния. Например, каждая точка в X должна приближаться к x с некоторой степенью точности, следовательно, X должно входить в это семейство. Как только мы начинаем определять "меньшие" множества, содержащие x, мы, как правило, приближаем x с большей точностью. Учитывая это, можно определить остальные аксиомы, которым должно удовлетворять семейство множеств вокруг x.

Intuitively, an open set provides a method to distinguish two points. For example, if about one of two points in a topological space, there exists an open set not containing the other (distinct) point, the two points are referred to as topologically distinguishable. In this manner, one may speak of whether two points, or more generally two subsets, of a topological space are "near" without concretely defining a distance. Therefore, topological spaces may be seen as a generalization of spaces equipped with a notion of distance, which are called metric spaces. In the set of all real numbers, one has the natural Euclidean metric; that is, a function which measures the distance between two real numbers: Therefore, given a real number x, one can speak of the set of all points close to that real number; that is, within ε of x. In essence, points within ε of x approximate x to an accuracy of degree ε. Note that ε > 0 always but as ε becomes smaller and smaller, one obtains points that approximate x to a higher and higher degree of accuracy. For example, if x = 0 and ε = 1, the points within ε of x are precisely the points of the interval (−1, 1); that is, the set of all real numbers between −1 and 1. However, with ε = 0.5, the points within ε of x are precisely the points of (−0.5, 0.5). Clearly, these points approximate x to a greater degree of accuracy than when ε = 1. The previous discussion shows, for the case x = 0, that one may approximate x to higher and higher degrees of accuracy by defining ε to be smaller and smaller. In particular, sets of the form (−ε, ε) give us a lot of information about points close to x = 0. Thus, rather than speaking of a concrete Euclidean metric, one may use sets to describe points close to x. This innovative idea has far reaching consequences; in particular, by defining different collections of sets containing 0 (distinct from the sets (−ε, ε)), one may find different results regarding the distance between 0 and other real numbers. For example, if we were to define R as the only such set for "measuring distance", all points are close to 0 since there is only one possible degree of accuracy one may achieve in approximating 0: being a member of R. Thus, we find that in some sense, every real number is distance 0 away from 0. It may help in this case to think of the measure as being a binary condition: all things in R are equally close to 0, while any item that is not in R is not close to 0. In general, one refers to the family of sets containing 0, used to approximate 0, as a neighborhood basis; a member of this neighborhood basis is referred to as an open set. In fact, one may generalize these notions to an arbitrary set (X); rather than just the real numbers. In this case, given a point (x) of that set, one may define a collection of sets "around" (that is, containing) x, used to approximate x. Of course, this collection would have to satisfy certain properties (known as axioms) for otherwise we may not have a well defined method to measure distance. For example, every point in X should approximate x to some degree of accuracy. Thus X should be in this family. Once we begin to define "smaller" sets containing x, we tend to approximate x to a greater degree of accuracy. Bearing this in mind, one may define the remaining axioms that the family of sets about x is required to satisfy.

Определения

Здесь приведено несколько определений, в порядке возрастания сложности. Каждое из них является частным случаем последующего.

Евклидово пространство

Подмножество евклидова n-пространства Rⁿ открыто, если для каждой точки x в этом подмножестве существует положительное действительное число ε (зависящее от x) такое, что любая точка в Rⁿ, евклидово расстояние от которой до x меньше ε, принадлежит этому подмножеству. Эквивалентно, подмножество Rⁿ открыто, если каждая точка в нем является центром открытого шара, содержащегося в этом подмножестве.

Пример подмножества R, которое не является открытым, – это замкнутый интервал [0, 1], поскольку ни 0 - ε, ни 1 + ε не принадлежат [0, 1] для любого ε > 0, каким бы малым оно ни было.

Метрическое пространство

Подмножество U метрического пространства (M, d) называется открытым, если для любой точки x из U существует действительное число ε > 0, такое что любая точка y, удовлетворяющая условию d(x, y) < ε, принадлежит U. Эквивалентно, U является открытым, если для каждой точки в U существует окрестность, содержащаяся в U. Это обобщает пример евклидова пространства, поскольку евклидово пространство с евклидовым расстоянием является метрическим пространством.

Клооп-сеты и неоткрытые и/или незакрытые сеты

Набор может быть открытым, замкнутым, одновременно открытым и замкнутым, или ни тем, ни другим. В частности, открытые и замкнутые множества не являются взаимоисключающими, то есть в общем случае подмножество топологического пространства может одновременно быть как открытым, так и замкнутым подмножеством. Такие подмножества называются клапенными множествами. Явно, подмножество топологического пространства называется клапенным, если и его дополнение являются открытыми подмножествами ; или, эквивалентно, если и .

В любом топологическом пространстве пустое множество и само пространство всегда являются клапенными. Эти два множества – наиболее известные примеры клапенных подмножеств, показывающие, что клапенные подмножества существуют в каждом топологическом пространстве. Чтобы понять, почему является клапенным, вспомним, что множества и по определению всегда являются открытыми подмножествами ( ). Также по определению, подмножество называется замкнутым, если (и только если) его дополнение в , то есть множество , является открытым подмножеством. Поскольку дополнение (в ) всего пространства является пустым множеством (т.е. ), которое является открытым подмножеством, это означает, что является замкнутым подмножеством (по определению "замкнутого подмножества"). Следовательно, независимо от выбранной топологии на пространстве , всё пространство одновременно является как открытым, так и замкнутым подмножеством; другими словами, всегда является клапенным подмножеством . Поскольку дополнение пустого множества – это , которое является открытым подмножеством, аналогичное рассуждение позволяет заключить, что также является клапенным подмножеством .

Рассмотрим вещественную прямую, наделённую её обычной евклидовой топологией, чьи открытые множества определяются следующим образом: каждый интервал действительных чисел принадлежит топологии, каждое объединение таких интервалов, например, принадлежит топологии, и, как всегда, и принадлежат топологии. Интервал открыт в , поскольку он принадлежит евклидовой топологии. Если бы у было открытое дополнение, это означало бы по определению, что замкнуто. Но не имеет открытого дополнения; его дополнение – , которое не принадлежит евклидовой топологии, поскольку оно не является объединением открытых интервалов вида . Следовательно, является примером множества, которое открыто, но не замкнуто. По аналогичному аргументу, интервал является замкнутым подмножеством, но не открытым подмножеством. Наконец, поскольку ни , ни его дополнение не принадлежат евклидовой топологии (потому что их нельзя представить в виде объединения интервалов вида ), это означает, что не является ни открытым, ни замкнутым. Если топологическое пространство наделено дискретной топологией (то есть, по определению, каждое подмножество является открытым), то каждое подмножество является клапенным подмножеством. Для более продвинутого примера, напоминающего дискретную топологию, предположим, что – это ультрафильтр на непустом множестве . Тогда объединение образует топологию на с тем свойством, что каждое непустое собственное подмножество множества является либо открытым подмножеством, либо замкнутым подмножеством, но никогда одновременно; то есть, если (где ), то ровно одно из следующих двух утверждений истинно: либо (1) , либо (2) . Иными словами, каждое подмножество открыто или замкнуто, но только подмножества, которые являются одновременно открытыми и замкнутыми (то есть клапенными), – это и .

Свойства

Союз любого количества открытых множеств, или бесконечного числа открытых множеств, является открытым. Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

"Открыто" определяется относительно определенной топологии

Открытость множества зависит от рассматриваемой топологии. Отдавая предпочтение краткости, а не ясности, мы будем называть множество X, наделенное топологией, "топологическим пространством X", а не "топологическим пространством ", хотя вся топологическая информация содержится в . Если на одном и том же множестве заданы две топологии, множество U, открытое в первой топологии, может оказаться не открытым во второй. Например, если X – любое топологическое пространство, а Y – любое подмножество X, то множеству Y можно задать собственную топологию (называемую "топологией подпространства"), определяемую следующим образом: "множество U открыто в топологии подпространства на Y тогда и только тогда, когда U является пересечением Y с открытым множеством из исходной топологии на X". Это может привести к появлению новых открытых множеств: если V открыто в исходной топологии на X, но не открыто в исходной топологии на X, то V открыто в топологии подпространства на Y. В качестве конкретного примера, если U определено как множество рациональных чисел в интервале , то U является открытым подмножеством рациональных чисел, но не действительных чисел. Это происходит потому, что если окружающим пространством являются рациональные числа, то для каждой точки x из U существует положительное число a, такое что все рациональные точки на расстоянии меньше a от x также принадлежат U. С другой стороны, если окружающим пространством являются действительные числа, то для каждой точки x из U не существует положительного a, такого чтобы все действительные точки на расстоянии меньше a от x принадлежали U (потому что U не содержит иррациональных чисел).