Релятивистік кванттық механикалық толқын теңдеуі

Кіріспе

Бөлшек физикасында Дирак теңдеуі – британдық физик Пол Дирактың 1928 жылы туындылаған релятивистік толқын теңдеуі. Оның бос түрінде немесе электромагниттік өзара әрекеттесулерді қамти отырып, ол барлық спиндік массалы бөлшектерді, «Дирак бөлшектері» деп аталатындарды, мысалы, электрондар мен кварктарды сипаттайды, олар үшін паритет симметрия болып табылады. Ол кванттық механика принциптерімен де, арнайы салыстырмалылық теориясымен де үйлесімді және кванттық механика контекстінде арнайы салыстырмалылықты толыққанды ескерген алғашқы теория болды. Бұл сутегі спектрінің құрылымдық ерекшеліктерін толығымен қатаң түрде есепке алу арқылы расталды. Теңдеу бұрын күдіктелмеген және байқалмаған жаңа материя түрі – антиматерияның бар екенін де болжайды, кейін бірнеше жылдан соң тәжірибе жүзінде расталды. Сонымен қатар, ол Паулидің спин феноменологиялық теориясында көпкомпонентті толқындық функцияларды енгізуге теориялық негіз берді. Дирак теориясындағы толқындық функциялар – төрт кешенді санның векторлары (биспинорлар деп аталады), олардың екеуі салыстырмалы емес лимитте Паули толқындық функциясына ұқсас, ал Шредингер теңдеуі тек бір кешенді мәнді толқындық функцияларды сипаттайды. Сонымен қатар, нөлдік масса лимитінде Дирак теңдеуі Вейль теңдеуіне дейін тобырлады. Дирак алғашқыда өз нәтижелерінің маңыздылығын толыққанды түсінбесе де, кванттық механика мен салыстырмалылықтың бірігуінің салдары ретінде спинді түсіндіруге және позитронның ашылуына әкелгені теориялық физиканың ұлы жетістіктерінің бірі болып табылады. Бұл жетістік Ньютон, Максвелл және Эйнштейннің еңбектерімен тең делінген. Кейбір физиктер оны «қазіргі заманғы физиканың нағыз тұқымы» деп санайды. Кванттық өріс теориясы контекстінде Дирак теңдеуі спиндік бөлшектерге сәйкес келетін кванттық өрістерді сипаттау үшін қайта қарастырылады. Дирак теңдеуі Вестминстер аббаттығының еденіндегі тақтаға жазылған. 1995 жылдың 13 қарашасында ашылған тақта Дирактың өмірін еске алады.

In particle physics, the Dirac equation is a relativistic wave equation derived by British physicist Paul Dirac in 1928. In its free form, or including electromagnetic interactions, it describes all spin massive particles, called "Dirac particles", such as electrons and quarks for which parity is a symmetry. It is consistent with both the principles of quantum mechanics and the theory of special relativity, and was the first theory to account fully for special relativity in the context of quantum mechanics. It was validated by accounting for the fine structure of the hydrogen spectrum in a completely rigorous way. The equation also implied the existence of a new form of matter, antimatter, previously unsuspected and unobserved and which was experimentally confirmed several years later. It also provided a theoretical justification for the introduction of several component wave functions in Pauli's phenomenological theory of spin. The wave functions in the Dirac theory are vectors of four complex numbers (known as bispinors), two of which resemble the Pauli wavefunction in the non relativistic limit, in contrast to the Schrödinger equation which described wave functions of only one complex value. Moreover, in the limit of zero mass, the Dirac equation reduces to the Weyl equation. Although Dirac did not at first fully appreciate the importance of his results, the entailed explanation of spin as a consequence of the union of quantum mechanics and relativity—and the eventual discovery of the positron—represents one of the great triumphs of theoretical physics. This accomplishment has been described as fully on a par with the works of Newton, Maxwell, and Einstein before him. It has been deemed by some physicists to be the "real seed of modern physics". In the context of quantum field theory, the Dirac equation is reinterpreted to describe quantum fields corresponding to spin particles. The Dirac equation is inscribed upon a plaque on the floor of Westminster Abbey. Unveiled on 13 November 1995, the plaque commemorates Dirac's life.

Вейл теориясы

Массасыз жағдайда Дирак теңдеуі Вейль теңдеуіне дейін тоғысып, салыстырмалы массасыз спин 1/2 бөлшектерін сипаттайды. Теория екінші симметрияны қабылдайды: төменде қараңыз.

Байқаулықтарды анықтау

Кванттық теориядағы маңызды физикалық сұрақ мына: теорияда қандай физикалық өлшенетін шамалар анықталады? Кванттық механика постулаттарына сәйкес, мұндай шамалар жүйенің мүмкін күйлерінің Гильберт кеңістігінде әрекет ететін Эрмиттік операторлармен анықталады. Бұл операторлардың өзіндік мәндері – тиісті физикалық шаманы өлшеудің мүмкін нәтижелері. Шредингер теориясындағы ең қарапайым мұндай объект – жалпы гамильтониан, ол жүйенің жалпы энергиясын көрсетеді. Дирак теориясына көшкенде осы интерпретацияны сақтау үшін гамильтониан әрқашан, әдеттегідей, екі рет қайталанатын индекс бойынша жасырын қосындыны қамтиды деп есептелуі керек. Бұл перспективалы, себебі тексеру арқылы бөлшектің тыныш күйдегі энергиясын және, жағдайында, электр потенциалындағы зарядтың энергиясын cqA^(0) көруге болады. Ал векторлық потенциалды қамтитын мүшеге қатысты не деуге болады? Классикалық электродинамикада қолданылатын потенциалда қозғалатын зарядтың энергиясы келесідей: Осылайша, Дирак гамильтонианы классикалық аналогынан түбегейлі өзгеше, сондықтан осы теорияда не өлшенетінін дұрыс анықтау үшін ерекше сақтық қажет. Дирак теңдеуінен туындайтын көріне парадоксалдық мінез-құлықтың көп бөлігі осы өлшенетін шамаларды дұрыс анықтамаудан туындайды.

Тесік теориясы

Теңдеудің теріс Е шешімдері мәселелі, себебі бөлшектің оң энергиясы бар деп есептелді. Бірақ математикалық тұрғыдан алғанда, теріс энергия шешімдерін қабылдамауға ешқандай себеп жоқ сияқты. Олар бар болғандықтан, оларды қараусыз қалдыруға болмайды, өйткені электрон мен электромагниттік өріс арасындағы өзара әрекеттесу ескерілгенде, оң энергиялық өзіндік күйдегі кез келген электрон тізбектей төмендейтін теріс энергиялық өзіндік күйлерге ыдырайды. Шын электрондар мұндай мінез-қолқа көрсетпейді, әйтпесе олар фотондар түрінде энергияны шығарып, жоғалып кетер еді. Бұл қиындыққа шешім табу үшін Дирак «тесіктер теориясы» деп аталатын гипотезаны ұсынды. Оған сәйкес, вакуум – барлық теріс энергиялы электрондық өзіндік күйлер толған көп денелі кванттық күй. Вакуумды электрондардан тұратын «теңіз» деп сипаттау «Дирак теңізі» деп аталады. Паулидің тыйым салу принципі электрондардың бірдей күйде болуына рұқсат бермейді, сондықтан кез келген қосымша электрон оң энергиялық өзіндік күйде болуға мәжбүр болады, ал оң энергиялы электрондар теріс энергиялық өзіндік күйлерге ыдыраудан тыйылады. Дирак сондай-ақ, егер теріс энергиялық өзіндік күйлер толық толмаса, әрбір бос өзіндік күй – «тесік» деп аталатын – оң зарядталған бөлшек сияқты мінез-қолқа көрсететінін көрсетті. Тесік оң энергияға ие, себебі вакуумнан бөлшек-тесік жұбын жасау үшін энергия қажет. Жоғарыда айтылғандай, Дирак бастапқыда тесік протон болуы мүмкін деп ойлаған, бірақ Герман Вейл тесіктің массасы электрон массасына тең болуы керек екенін, ал протонның массасы 1800 есе ауыр екенін көрсетті. Ақырында, бұл тесік 1932 жылы Карл Андерсон тәжірибелік түрде ашқан позитрон екені анықталды. «Вакуумды» теріс энергиялы электрондардың шексіз теңізі арқылы сипаттау толыққанды қанағаттандырмайды. Теріс энергиялы электрондар теңізінен келетін шексіз теріс үлес, шексіз оң «жалаңаш» энергиямен теңестірілуі керек, ал теріс энергиялы электрондар теңізінен келетін заряд тығыздығы мен токқа үлес, шексіз оң «желий» фонымен дәл теңестіріледі, сондықтан вакуумның таза электр зарядының тығыздығы нөлге тең. Кванттық өріс теориясында, жарату және жою операторлары бойынша Боголюбов түрленуі (басқын теріс энергиялы электрон күйін бос оң энергиялы позитрон күйіне, бос теріс энергиялы электрон күйін бос оң энергиялы позитрон күйіне айналдыру) Дирак теңізі формализмін айналып өтуге мүмкіндік береді, бірақ формальды түрде ол оған тең. Дегенмен, қатты дене физикасының кейбір қолдануларында «тесіктер теориясының» негізгі ұғымдары жарамды. Электр өткізгішіндегі өткізгіш электрондар теңізі, «Ферми теңізі» деп аталады, жүйедегі химиялық потенциалға дейінгі энергиясы бар электрондарды қамтиды. Ферми теңізіндегі бос күй оң зарядталған электрон сияқты мінез-қолқа көрсетеді, және оны да «электрон тесігі» деп атағанмен, ол позитрондан ерекшеленеді. Ферми теңізінің теріс заряды материалдың оң зарядталған иондық торымен теңестіріледі.

The negative E solutions to the equation are problematic, for it was assumed that the particle has a positive energy. Mathematically speaking, however, there seems to be no reason for us to reject the negative energy solutions. Since they exist, they cannot simply be ignored, for once the interaction between the electron and the electromagnetic field is included, any electron placed in a positive energy eigenstate would decay into negative energy eigenstates of successively lower energy. Real electrons obviously do not behave in this way, or they would disappear by emitting energy in the form of photons. To cope with this problem, Dirac introduced the hypothesis, known as hole theory, that the vacuum is the many body quantum state in which all the negative energy electron eigenstates are occupied. This description of the vacuum as a "sea" of electrons is called the Dirac sea. Since the Pauli exclusion principle forbids electrons from occupying the same state, any additional electron would be forced to occupy a positive energy eigenstate, and positive energy electrons would be forbidden from decaying into negative energy eigenstates. Dirac further reasoned that if the negative energy eigenstates are incompletely filled, each unoccupied eigenstate – called a hole – would behave like a positively charged particle. The hole possesses a positive energy because energy is required to create a particle–hole pair from the vacuum. As noted above, Dirac initially thought that the hole might be the proton, but Hermann Weyl pointed out that the hole should behave as if it had the same mass as an electron, whereas the proton is over 1800 times heavier. The hole was eventually identified as the positron, experimentally discovered by Carl Anderson in 1932. It is not entirely satisfactory to describe the "vacuum" using an infinite sea of negative energy electrons. The infinitely negative contributions from the sea of negative energy electrons have to be canceled by an infinite positive "bare" energy and the contribution to the charge density and current coming from the sea of negative energy electrons is exactly canceled by an infinite positive "jellium" background so that the net electric charge density of the vacuum is zero. In quantum field theory, a Bogoliubov transformation on the creation and annihilation operators (turning an occupied negative energy electron state into an unoccupied positive energy positron state and an unoccupied negative energy electron state into an occupied positive energy positron state) allows us to bypass the Dirac sea formalism even though, formally, it is equivalent to it. In certain applications of condensed matter physics, however, the underlying concepts of "hole theory" are valid. The sea of conduction electrons in an electrical conductor, called a Fermi sea, contains electrons with energies up to the chemical potential of the system. An unfilled state in the Fermi sea behaves like a positively charged electron, and although it too is referred to as an "electron hole", it is distinct from a positron. The negative charge of the Fermi sea is balanced by the positively charged ionic lattice of the material.

Кванттық өріс теориясында

Кванттық электродинамика сияқты кванттық өріс теорияларында Дирак өрісі екінші квантталу процесінен өтеді, бұл теңдеудегі кейбір парадоксалдық қасиеттерді жояды.

Шешімдер

Дирак операторы квадраттық интегралданатын функциялардың 4-тік түйіндеріне әсер ететіндіктен, оның шешімдері сол Гилберт кеңістігінің элементтері болуы керек. Шешімдердің энергиясының ең төменгі шегі болмауы күтпеген нәрсе.

Басқа формулалар

Дирак теңдеуін тағы да бірнеше түрде жазуға болады.

Бұрылысқан кеңістік-уақыт

Бұл мақалада Дирак теңдеуі арнайы салыстырмалылық теориясы бойынша жазық кеңістікте дамытылды. Дирак теңдеуін қисық кеңістік-уақытта тұжырымдау мүмкін.

Физикалық кеңістіктің алгебрасы

Бұл мақалада Дирак теңдеуі төрт векторлар және Шредингер операторлары арқылы дамытылды. Физикалық кеңістіктің алгебрасындағы Дирак теңдеуі нақты сандар үстіндегі Клиффорд алгебрасын қолданады, бұл геометриялық алгебраның бір түрі.

U(1) симметриясы

Бұл бөлімде табиғи бірліктер қолданылады. Байланыс тұрақтысы конвенция бойынша ":" деп белгіленеді; бұл параметрді электрон зарядын модельдеу ретінде де қарастыруға болады.

Физикалық қолдану

Физикалық қолданбалар үшін, бұл жағдай мықты өзара әрекеттесулерді модельдейтін Стандартты модельдің кварк секторын сипаттайды. Кварктар Дирак спинорлары ретінде модельденеді; өлшегіш өріс глюон өрісі болып табылады. Бұл жағдай Стандартты модельдің электроәлсіз секторының бір бөлігін сипаттайды. Электрондар және нейтринолар сияқты лептондар Дирак спинорлары болып табылады; өлшегіш өріс – өлшегіш бозон.