Уравнение Дирака: релятивистская квантовая механика и предсказание антиматерии.

Введение

Релятивистское квантово-механическое волновое уравнение

В физике частиц уравнение Дирака — это релятивистское волновое уравнение, полученное британским физиком Полом Дираком в 1928 году. В своей свободной форме или с учетом электромагнитных взаимодействий оно описывает все массивные частицы, обладающие спином, называемые «частицами Дирака», такие как электроны и кварки, для которых паритет является симметрией. Оно согласуется как с принципами квантовой механики, так и с теорией специальной относительности и стало первой теорией, полностью учитывающей специальную относительность в контексте квантовой механики. Это было подтверждено точным расчетом тонкой структуры спектра водорода. Уравнение также предсказало существование новой формы материи — антиматерии, существование которой ранее не предполагалось и не наблюдалось, и которая была экспериментально подтверждена несколько лет спустя. Оно также дало теоретическое обоснование введению многокомпонентных волновых функций в феноменологической теории спина Паули. Волновые функции в теории Дирака являются векторами из четырех комплексных чисел (известных как биспиноры), два из которых в нерелятивистском пределе напоминают волновую функцию Паули, в отличие от уравнения Шрёдингера, описывающего волновые функции, имеющие только одно комплексное значение. Более того, в пределе нулевой массы уравнение Дирака сводится к уравнению Вейля. Хотя Дирак поначалу не в полной мере осознал важность своих результатов, объяснение спина как следствия объединения квантовой механики и теории относительности и последующее открытие позитрона представляют собой один из величайших триумфов теоретической физики. Это достижение было признано сопоставимым с работами Ньютона, Максвелла и Эйнштейна. Некоторые физики считают его «истинным семенем современной физики». В контексте квантовой теории поля уравнение Дирака переинтерпретируется для описания квантовых полей, соответствующих частицам со спином. Уравнение Дирака выгравировано на табличке, установленной на полу Вестминстерского аббатства. Табличка, открытая 13 ноября 1995 года, посвящена жизни Дирака.

In particle physics, the Dirac equation is a relativistic wave equation derived by British physicist Paul Dirac in 1928. In its free form, or including electromagnetic interactions, it describes all spin massive particles, called "Dirac particles", such as electrons and quarks for which parity is a symmetry. It is consistent with both the principles of quantum mechanics and the theory of special relativity, and was the first theory to account fully for special relativity in the context of quantum mechanics. It was validated by accounting for the fine structure of the hydrogen spectrum in a completely rigorous way. The equation also implied the existence of a new form of matter, antimatter, previously unsuspected and unobserved and which was experimentally confirmed several years later. It also provided a theoretical justification for the introduction of several component wave functions in Pauli's phenomenological theory of spin. The wave functions in the Dirac theory are vectors of four complex numbers (known as bispinors), two of which resemble the Pauli wavefunction in the non relativistic limit, in contrast to the Schrödinger equation which described wave functions of only one complex value. Moreover, in the limit of zero mass, the Dirac equation reduces to the Weyl equation. Although Dirac did not at first fully appreciate the importance of his results, the entailed explanation of spin as a consequence of the union of quantum mechanics and relativity—and the eventual discovery of the positron—represents one of the great triumphs of theoretical physics. This accomplishment has been described as fully on a par with the works of Newton, Maxwell, and Einstein before him. It has been deemed by some physicists to be the "real seed of modern physics". In the context of quantum field theory, the Dirac equation is reinterpreted to describe quantum fields corresponding to spin particles. The Dirac equation is inscribed upon a plaque on the floor of Westminster Abbey. Unveiled on 13 November 1995, the plaque commemorates Dirac's life.

Теория Вейла

В случае отсутствия массы уравнение Дирака упрощается до уравнения Вейля, описывающего релятивистские безмассовые частицы со спином 1/2. Теория приобретает вторую симметрию: см. ниже.

Определение наблюдаемого

Критический физический вопрос в квантовой теории заключается в следующем: какие физически наблюдаемые величины определяются данной теорией? Согласно постулатам квантовой механики, такие величины определяются эрмитовыми операторами, действующими на гильбертово пространство возможных состояний системы. Собственные значения этих операторов являются возможными результатами измерения соответствующей физической величины. В теории Шрёдингера простейшим таким объектом является полный гамильтониан, представляющий собой полную энергию системы. Чтобы сохранить эту интерпретацию при переходе к теории Дирака, гамильтониан должен быть записан как

где, как обычно, подразумевается суммирование по дважды повторяющемуся индексу. Это выглядит обнадеживающе, поскольку при внимательном рассмотрении можно увидеть энергию покоя частицы и, в случае , энергию заряда, помещенного в электрический потенциал cqA^(0). Что же касается члена, содержащего векторный потенциал? В классической электродинамике энергия заряда, движущегося в приложенном потенциале, равна

Таким образом, гамильтониан Дирака принципиально отличается от своего классического аналога, и необходимо проявлять большую осторожность при правильном определении того, что является наблюдаемым в этой теории. Значительная часть кажущегося парадоксального поведения, вытекающего из уравнения Дирака, связана с неправильной идентификацией этих наблюдаемых.

Теория отверстий

Отрицательные решения уравнения E являются проблематичными, поскольку предполагалось, что частица обладает положительной энергией. Однако, математически говоря, нет оснований отвергать решения с отрицательной энергией. Поскольку они существуют, их нельзя просто игнорировать, ведь как только учитывается взаимодействие между электроном и электромагнитным полем, любой электрон, находящийся в собственном состоянии с положительной энергией, будет распадаться в собственные состояния с отрицательной энергией последовательно уменьшающейся энергии. Реальные электроны, очевидно, ведут себя иначе, иначе бы они исчезали, излучая энергию в виде фотонов. Чтобы решить эту проблему, Дирак ввел гипотезу, известную как теория дырок, согласно которой вакуум представляет собой многочастичное квантовое состояние, в котором заняты все собственные состояния электронов с отрицательной энергией. Такое описание вакуума как «моря» электронов называется морем Дирака. Поскольку принцип исключения Паули запрещает электронам занимать одно и то же состояние, любой дополнительный электрон будет вынужден занимать собственное состояние с положительной энергией, а электронам с положительной энергией будет запрещено распадаться в собственные состояния с отрицательной энергией. Дирак также предположил, что если собственные состояния с отрицательной энергией заполнены не полностью, каждое незанятое состояние – так называемая дырка – будет вести себя как положительно заряженная частица. Дырка обладает положительной энергией, поскольку для создания пары частица-дырка из вакуума требуется энергия. Как отмечалось выше, Дирак изначально полагал, что дыркой может быть протон, но Герман Вейль указал на то, что дырка должна вести себя так, как будто она имеет ту же массу, что и электрон, в то время как протон более чем в 1800 раз тяжелее. В конечном итоге дырка была идентифицирована как позитрон, экспериментально обнаруженный Карлом Андерсоном в 1932 году. Описание «вакуума» как бесконечного моря электронов с отрицательной энергией не вполне удовлетворительно. Бесконечно отрицательный вклад от моря электронов с отрицательной энергией должен компенсироваться бесконечной положительной «голой» энергией, а вклад в плотность заряда и ток со стороны моря электронов с отрицательной энергией точно компенсируется бесконечной положительной «желейной» фоновой плотностью, так что суммарная плотность электрического заряда вакуума равна нулю. В квантовой теории поля преобразование Боголюбова над операторами рождения и уничтожения (преобразующее занятое состояние электрона с отрицательной энергией в незанятое состояние позитрона с положительной энергией и незанятое состояние электрона с отрицательной энергией в занятое состояние позитрона с положительной энергией) позволяет обойти формализм моря Дирака, хотя формально он ему эквивалентен. Однако в некоторых приложениях физики конденсированного состояния основные концепции «теории дырок» остаются справедливыми. Море электронов проводимости в электрическом проводнике, называемое морем Ферми, содержит электроны с энергиями до химического потенциала системы. Незанятое состояние в море Ферми ведет себя как положительно заряженный электрон, и хотя его также называют «электронной дыркой», оно отличается от позитрона. Отрицательный заряд моря Ферми уравновешивается положительно заряженной ионной решеткой материала.

The negative E solutions to the equation are problematic, for it was assumed that the particle has a positive energy. Mathematically speaking, however, there seems to be no reason for us to reject the negative energy solutions. Since they exist, they cannot simply be ignored, for once the interaction between the electron and the electromagnetic field is included, any electron placed in a positive energy eigenstate would decay into negative energy eigenstates of successively lower energy. Real electrons obviously do not behave in this way, or they would disappear by emitting energy in the form of photons. To cope with this problem, Dirac introduced the hypothesis, known as hole theory, that the vacuum is the many body quantum state in which all the negative energy electron eigenstates are occupied. This description of the vacuum as a "sea" of electrons is called the Dirac sea. Since the Pauli exclusion principle forbids electrons from occupying the same state, any additional electron would be forced to occupy a positive energy eigenstate, and positive energy electrons would be forbidden from decaying into negative energy eigenstates. Dirac further reasoned that if the negative energy eigenstates are incompletely filled, each unoccupied eigenstate – called a hole – would behave like a positively charged particle. The hole possesses a positive energy because energy is required to create a particle–hole pair from the vacuum. As noted above, Dirac initially thought that the hole might be the proton, but Hermann Weyl pointed out that the hole should behave as if it had the same mass as an electron, whereas the proton is over 1800 times heavier. The hole was eventually identified as the positron, experimentally discovered by Carl Anderson in 1932. It is not entirely satisfactory to describe the "vacuum" using an infinite sea of negative energy electrons. The infinitely negative contributions from the sea of negative energy electrons have to be canceled by an infinite positive "bare" energy and the contribution to the charge density and current coming from the sea of negative energy electrons is exactly canceled by an infinite positive "jellium" background so that the net electric charge density of the vacuum is zero. In quantum field theory, a Bogoliubov transformation on the creation and annihilation operators (turning an occupied negative energy electron state into an unoccupied positive energy positron state and an unoccupied negative energy electron state into an occupied positive energy positron state) allows us to bypass the Dirac sea formalism even though, formally, it is equivalent to it. In certain applications of condensed matter physics, however, the underlying concepts of "hole theory" are valid. The sea of conduction electrons in an electrical conductor, called a Fermi sea, contains electrons with energies up to the chemical potential of the system. An unfilled state in the Fermi sea behaves like a positively charged electron, and although it too is referred to as an "electron hole", it is distinct from a positron. The negative charge of the Fermi sea is balanced by the positively charged ionic lattice of the material.

В квантовой теории поля

В квантовых теориях поля, таких как квантовая электродинамика, дираковское поле подвергается процедуре второй квантизации, которая устраняет некоторые парадоксальные аспекты уравнения.

Решение

Поскольку оператор Дирака действует на 4-ки (четверки) квадратично интегрируемых функций, его решения должны принадлежать тому же гильбертову пространству. Тот факт, что энергии решений не имеют нижней границы, является неожиданным.

Другие соединения

Уравнение Дирака можно сформулировать различными другими способами.

Кривое пространство-время

В этой статье было получено уравнение Дирака в плоском пространстве-времени на основе специальной теории относительности. Возможно сформулировать уравнение Дирака и в искривленном пространстве-времени.

Алгебра физического пространства

В этой статье уравнение Дирака было выведено с использованием четырехвекторов и операторов Шрёдингера. Уравнение Дирака в алгебре физического пространства использует алгебру Клиффорда над действительными числами, являющуюся разновидностью геометрической алгебры.

U(1) симметрия

В этом разделе используются натуральные единицы. Константа связи обозначается двоеточием по соглашению: этот параметр также можно рассматривать как модель заряда электрона.

Физические применения

Для физических приложений, случай описывает кварковый сектор Стандартной модели, который моделирует сильные взаимодействия. Кварки моделируются как спиноры Дирака; калибровочное поле — это поле глюонов. Этот случай описывает часть электрослабого сектора Стандартной модели. Лептоны, такие как электроны и нейтрино, являются спинорами Дирака; калибровочное поле — это калибровочный бозон.