Введение

Функция двух векторов линейна по каждому аргументу. В математике билинейное отображение — это функция, которая сопоставляет элементы двух векторных пространств элементу третьего векторного пространства и линейна по каждому из своих аргументов. Умножение матриц является примером.

Свойства

Непосредственным следствием определения является то, что B(v, w) = 0X всякий раз, когда v = 0V или w = 0W. Это можно увидеть, представив нулевой вектор 0V как 0 ⋅ 0V (и аналогично для 0W) и, используя линейность, вынося скаляр 0 за знак B. Множество L(V, W; X) всех билинейных отображений является линейным подпространством пространства (в частности, векторного пространства или модуля) всех отображений из V × W в X. Если V, W и X конечномерны, то и L(V, W; X) конечномерно. А именно, размерность этого пространства равна dim V × dim W (в то время как размерность пространства L(V × W; F) линейных функционалов равна dim V + dim W). Чтобы понять это, выберем базис для V и W; тогда каждое билинейное отображение может быть однозначно представлено матрицей B(ei, fj), и наоборот. Теперь, если X – пространство большей размерности, то очевидно, что dim L(V, W; X) = dim V × dim W × dim X.

Достаточные условия для непрерывности

Многие билинейные отображения, встречающиеся на практике, являются раздельно непрерывными, но не все из них непрерывны. Мы приводим здесь достаточные условия для того, чтобы раздельно непрерывное билинейное отображение было непрерывным. Если X является пространством Байра, а Y – метризуемым пространством, то каждое раздельно непрерывное билинейное отображение непрерывно. Если X и Y – сильные дуальные пространства пространств Фреше, то каждое раздельно непрерывное билинейное отображение непрерывно. Если билинейное отображение непрерывно в точке (0, 0), то оно непрерывно всюду.