Введение

Обобщенная сфера размерности n (математика)

В математике, n-сфера или гиперсфера является n-мерной обобщением 1-мерного круга и 2-мерной сферы на любое неотрицательное целое число n. n-сфера является основой для n-мерной сферической геометрии. Рассматриваемая внешне, как гиперповерхность, вложенная в (n+1)-мерное евклидово пространство, n-сфера представляет собой геометрическое место точек, находящихся на одинаковом расстоянии (радиусе) от заданной центральной точки. Её внутренность, состоящая из всех точек, находящихся ближе к центру, чем радиус, представляет собой (n+1)-мерный шар. В частности:

0-сфера — это пара точек на концах отрезка прямой (1-шар). 1-сфера — это круг, окружность диска (2-шара) в двухмерной плоскости. 2-сфера, часто называемая просто сферой, является границей 3-шара в трехмерном пространстве. 3-сфера — это граница 4-шара в четырехмерном пространстве. (n-1)-сфера является границей n-шара. При заданной декартовой системе координат, единичная n-сфера радиуса 1 может быть определена как:

Рассматриваемая внутренне, при n ≥ 1, n-сфера является римановым многообразием с постоянной положительной кривизной и ориентируема. Геодезические на n-сфере называются большими кругами. Стереографическая проекция отображает n-сферу на n-пространство с одной присоединенной точкой в бесконечности; в метрике, определяемой таким образом, она является моделью для n-сферы. В более общем контексте топологии любое топологическое пространство, гомеоморфное единичной n-сфере, называется n-сферой. При обратной стереографической проекции n-сфера является одноточечной компактификацией n-пространства. n-сферы допускают несколько других топологических описаний: например, их можно построить путем склеивания двух n-мерных пространств вместе, путем отождествления границы n-куба с точкой или (индуктивно) путем формирования подвешения (n-1)-сферы. При n ≥ 2 она просто связна; 1-сфера (круг) не просто связна; 0-сфера даже не связна, состоя из двух дискретных точек.

Описание

Для любого натурального числа n, n-сфера радиуса r определяется как множество точек в (n + 1)-мерном евклидовом пространстве, находящихся на расстоянии r от некоторой фиксированной точки 'c', где r может быть любым положительным действительным числом, а 'c' может быть любой точкой в (n + 1)-мерном пространстве. В частности:
0-сфера – это пара точек {c − r, c + r} и является границей отрезка прямой (1-шар). 1-сфера – это окружность радиусом r с центром в точке 'c' и является границей диска (2-шар). 2-сфера – это обычная двумерная сфера в трехмерном евклидовом пространстве и является границей шара (3-шар). 3-сфера – это трехмерная сфера в четырехмерном евклидовом пространстве.

Декартские координаты

Множество точек в (n + 1)-мерном пространстве, (x1, x2, ..., xn+1), определяющих n-сферу S^(n)(r), представляется уравнением:

где 1 = 'c' = (c1, c2, ..., cn+1) – это центральная точка, а r – радиус. Вышеуказанная n-сфера существует в (n + 1)-мерном евклидовом пространстве и является примером n-многообразия. Объёмная форма ω n-сферы радиуса r задаётся выражением:

где – оператор звезды Ходжа; подробное обсуждение и доказательство этой формулы для случая можно найти в . Следовательно,

Топологическое описание

Топологически, n-сферу можно построить как одноточечную компактификацию n-мерного евклидова пространства. Коротко говоря, n-сферу можно описать как ℝⁿ ∪ {∞}, то есть как n-мерное евклидово пространство плюс одна точка, представляющая бесконечность во всех направлениях. В частности, если из n-сферы удалить одну точку, она становится гомеоморфной ℝⁿ. Это является основой для стереографической проекции.

Однородно на случайном основании на -сфере

Для получения равномерно распределенных случайных точек на единичной (n − 1)-сфере (то есть на поверхности единичного n-шара), предлагается следующий алгоритм. Сгенерировать n-мерный вектор нормально распределенных случайных величин (достаточно использовать N(0, 1), хотя выбор дисперсии на самом деле произволен). Затем вычислить "радиус" этой точки:

Вектор равномерно распределен по поверхности единичного n-шара. Альтернативный метод, предложенный Марсальей, заключается в равномерном случайном выборе точки в единичном n-кубе путем выборки каждой координаты xi независимо из равномерного распределения на (−1, 1), вычисления r, как описано выше, и отклонения точки с повторной выборкой, если r ≥ 1 (то есть, если точка находится вне n-шара). Когда точка внутри шара получена, масштабировать ее до сферической поверхности с коэффициентом ; тогда снова получается равномерное распределение по поверхности единичного n-шара. Этот метод становится очень неэффективным в высоких размерностях, поскольку доля единичного куба, содержащаяся внутри сферы, становится пренебрежимо малой. В десяти измерениях менее 2% куба заполнено сферой, поэтому обычно требуется более 50 попыток. В семидесяти измерениях заполнено менее чем куба, что означает, что обычно потребуется триллион квадриллионов попыток, что значительно превышает возможности любого компьютера.

Однородно случайным образом в n-боле

При выборе точки, равномерно случайным образом взятой с поверхности единичной (n − 1)-сферы (например, с использованием алгоритма Марсальи), для получения точки, равномерно случайным образом распределенной внутри единичного n-шара, требуется только радиус. Если u — число, равномерно случайным образом сгенерированное из интервала [0, 1], а 'x' — точка, равномерно случайным образом выбранная с поверхности единичной (n − 1)-сферы, то u^(1/n) 'x' будет равномерно распределена внутри единичного n-шара. Альтернативно, точки можно равномерно выбирать внутри единичного n-шара, используя сведение из единичной (n + 1)-сферы. В частности, если (x1, x2, ..., xn+2) — точка, равномерно выбранная с единичной (n + 1)-сферы, то (x1, x2, ..., xn) будет равномерно распределена внутри единичного n-шара (то есть, просто отбрасывая две координаты). Если n достаточно велико, большая часть объема n-шара будет сосредоточена в области, очень близкой к его поверхности, поэтому точка, выбранная из этого объема, скорее всего, также будет близка к поверхности. Это одно из явлений, приводящих к так называемому проклятию размерности, которое возникает в некоторых численных и других приложениях.

Специфические сферы

0 сфера Пара точек с дискретной топологией для некоторого R > 0. Единственная сфера, не являющаяся связной с путями. Параллелизуема. 1 сфера Обычно называется кругом. Имеет нетривиальную фундаментальную группу. Абелева структура группы Ли U(1); группа круга. Гомеоморфна реальной проективной прямой. 2 сфера Обычно просто называется сферой. Для её комплексной структуры см. Сфера Римана. Гомеоморфна комплексной проективной прямой. 3 сфера Параллелизуема, главное U(1)-расслоение над 2-сферой, структура группы Ли Sp(1). 4 сфера Гомеоморфна кватернионной проективной прямой, H'P^(1). SO(5) / SO(4). 5 сфера Главное U(1)-расслоение над C'P^(2). SO(6) / SO(5) = SU(3) / SU(2). Неразрешимо, является ли данное n-мерное многообразие гомеоморфным S^(n) при n ≥ 5. 6 сфера Обладает почти комплексной структурой, происходящей из множества чистых единичных октавонов. SO(7) / SO(6) = G2 / SU(3). Вопрос о существовании комплексной структуры известен как проблема Хопфа, названная в честь Хайнца Хопфа. 7 сфера Топологическая структура квазигруппы как множество единичных октавонов. Главное Sp(1)-расслоение над S^(4). Параллелизуема. SO(8) / SO(7) = SU(4) / SU(3) = Sp(2) / Sp(1) = Spin(7) / G2 = Spin(6) / SU(3). 7-сфера представляет особый интерес, поскольку именно в этой размерности были обнаружены первые экзотические сферы. 8 сфера Гомеоморфна октавонической проективной прямой O'P^(1). 23 сфера Возможно плотное сферическое упаковывание в 24-мерном пространстве, связанное с уникальными свойствами решетки Лича.