Көшумен қоса сығыру түрлендіруі

Кіріспе

Геометриялық түрлендіру, шағылысу мен аударуды біріктіреді. Геометрияда, жылжу шағылысуы немесе трансфлексия – бұл гипержазықтықта шағылысудан және осы гипержазықтыққа параллель бағыттағы аударудан ("жылжудан") тұратын геометриялық түрлендіру, олар бір түрлендіруге біріктіріледі. Нүктелер арасындағы қашықтықтар жылжу шағылысуы кезінде өзгермейтіндіктен, бұл қозғалыс немесе изометрия болып табылады. Егер контекст екі өлшемді Евклид жазықтығы болса, шағылысу гипержазықтығы – жылжу сызығы немесе жылжу осі деп аталатын түзу. Егер контекст үш өлшемді кеңістік болса, шағылысу гипержазықтығы – жылжу жазықтығы деп аталатын жазықтық. Аударманың орын ауыстыру векторы жылжу векторы деп аталады. Егер геометриялық нысан немесе конфигурация түрлендіру арқылы өзгермейтін болса, онда оның симметриясы бар делінеді, ал түрлендіру симметрия операциясы деп аталады. Жылжу шағылысу симметриясы фриз топтарында (бір өлшемде қайталанататын, көбінесе сәндік шекараларда қолданылатын үлгілер), обой топтарында (жазықтықтың тұрақты теселяциялары) және кеңістік топтарында (мысалы, кристалдардың симметриясын сипаттайды) кездеседі. Жылжу шағылысу симметриясы бар нысандар, әдетте, тек шағылысу кезінде симметриялық емес, бірақ бір жылжу шағылысуының екі рет қолданылуы қос аудармаға әкеледі, сондықтан жылжу шағылысу симметриясы бар нысандар әрқашан қарапайым аудармалық симметрияға ие болады. Егер шағылысу гипержазықтыққа перпендикуляр бағыттағы аудармамен біріктірілсе, екі түрлендірудің қосындысы параллель гипержазықтықта шағылысу болады. Дегенмен, егер шағылысу кез келген басқа бағыттағы аудармамен біріктірілсе, екі түрлендірудің қосындысы жылжу шағылысуы болады, оны гипержазықтыққа параллель бағыттағы аудармамен біріктірілген параллель гипержазықтықтағы шағылысу ретінде сипаттауға болады. Бір жылжу фриз тобы p11g түрінде бейнеленеді. Жылжу шағылысуын айналудың аудармаға айналған шектес роторефлексиясы ретінде қарастыруға болады. Оған сондай-ақ Шенфлиз белгісімен S2∞, Коксетер белгісімен [∞+,2+] және орбифолд белгісімен ∞× беруге болады.

Geometric transformation combining reflection and translation

In geometry, a glide reflection or transflection is a geometric transformation that consists of a reflection across a hyperplane and a translation ("glide") in a direction parallel to that hyperplane, combined into a single transformation. Because the distances between points are not changed under glide reflection, it is a motion or isometry. When the context is the two dimensional Euclidean plane, the hyperplane of reflection is a straight line called the glide line or glide axis. When the context is three dimensional space, the hyperplane of reflection is a plane called the glide plane. The displacement vector of the translation is called the glide vector. When some geometrical object or configuration appears unchanged by a transformation, it is said to have symmetry, and the transformation is called a symmetry operation. Glide reflection symmetry is seen in frieze groups (patterns which repeat in one dimension, often used in decorative borders), wallpaper groups (regular tessellations of the plane), and space groups (which describe e. g. crystal symmetries). Objects with glide reflection symmetry are in general not symmetrical under reflection alone, but two applications of the same glide reflection result in a double translation, so objects with glide reflection symmetry always also have a simple translational symmetry. When a reflection is composed with a translation in a direction perpendicular to the hyperplane of reflection, the composition of the two transformations is a reflection in a parallel hyperplane. However, when a reflection is composed with a translation in any other direction, the composition of the two transformations is a glide reflection, which can be uniquely described as a reflection in a parallel hyperplane composed with a translation in a direction parallel to the hyperplane. A single glide is represented as frieze group p11g. A glide reflection can be seen as a limiting rotoreflection, where the rotation becomes a translation. It can also be given a Schoenflies notation as S2∞, Coxeter notation as [∞+,2+], and orbifold notation as ∞×.

Ғарыш топтары

Жылжымалы жазықтықтар Германн-Моген белгісінде a, b немесе c арқылы көрсетіледі, бұл жылжу осінің бағытына байланысты. (Жылжудың бағыты Германн-Моген белгісіндегі символдың орналасуымен анықталады.) Егер ось көрсетілмесе, жылжу жазықтығы g арқылы белгіленуі мүмкін. Жылжу жазықтығы экранға параллель болғанда, оны бүктелген жебемен көрсетуге болады, мұнда жебе ұшы жылзу бағытын көрсетеді. Егер жылжу жазықтығы экранға перпендикуляр болса, онда жылжу экран жазықтығына параллель болғанда оны үзік сызықтармен, ал жылжу экран жазықтығына перпендикуляр болғанда нүктелі сызықтармен бейнелеуге болады. Сонымен қатар, центрленген тор бір мезгілде екі бағытта жылжуға мүмкіндік береді. Мұндай жылжу жазықтығын жылжу жазықтығы экран жазықтығына параллель болғанда екі жағында жебе ұшы бар бүктелген жебемен, ал жылму жазықтығы экран жазықтығына перпендикуляр болғанда үзік және қос нүктелі сызықтармен көрсетуге болады. n жылжуы да бар, ол бет диагоналінің жартысы бойынша жылжуды, ал d жылмуы бірлік жасушаның беті немесе кеңістік диагоналінің төрттен бірі бойынша жылжуды білдіреді. Соңғысы көбінесе алмаз құрылымында кездесетін болғандықтан, алмаз жылжу жазықтығы деп аталады. n жылму жазықтығын экран жазықтығына параллель болғанда диагональ жебемен, ал жылму жазықтығы экран жазықтығына перпендикуляр болғанда үзік сызықпен көрсетуге болады. d жылму жазықтығын жылму жазықтығы экран жазықтығына параллель болғанда диагональ жартылай жебемен, ал жылму жазықтығы экран жазықтығына перпендикуляр болғанда жебелермен түймеленген нүктелі сызықпен көрсетуге болады. Егер кристалл жүйесінде d жылму жазықтығы болса, онда кристаллдың центрленген тор болуы керек. Германн-Моген белгісінің қазіргі нұсқасында, жылму бағытын көрсетудің екі мүмкіндігі болған жағдайларда e символы қолданылады, себебі екеуі де дұрыс. Мысалы, егер кристалда C бетіне центрленген Bravais торы болса, онда a бағытында жарты жасуша бірлігінің жылмуы b бағытында жарты жасуша бірлігінің жылмуымен бірдей нәтиже береді. Жылжу көрінісінен ғана туындаған изометрия тобы шексіз циклдік топ болып табылады. Екі тең жылму жазықтығы операцияларын біріктіру жылму көрінісінің екі еселенген векторы бар таза аударманы береді, сондықтан жылму көрінісінің жұп дәрежелері аударма тобын құрайды. Жылму көрінісі симметриясы жағдайында, объектінің симметрия тобында жылму көрінісі және одан туындаған топ болады. Жылму көрінісін қамтитын кез келген симметрия тобы үшін жылму векторы аударма тобының бір элементінің жартысы болып табылады. Егер жылму жазықтығы операциясының аударма векторы өзі аударма тобының элементі болса, онда сәйкес жылму жазықтығы симметриясы шағылысу симметриясы мен аударма симметриясының комбинациясына дейін төмендейді.

Glide planes are noted in the Hermann–Mauguin notation by a, b or c, depending on which axis the glide is along. (The orientation of the plane is determined by the position of the symbol in the Hermann–Mauguin designation.) If the axis is not defined, then the glide plane may be noted by g. When the glide plane is parallel to the screen, these planes may be indicated by a bent arrow in which the arrowhead indicates the direction of the glide. When the glide plane is perpendicular to the screen, these planes can be represented either by dashed lines when the glide is parallel to the plane of the screen or dotted lines when the glide is perpendicular to the plane of the screen. Additionally, a centered lattice can cause a glide plane to exist in two directions at the same time. This type of glide plane may be indicated by a bent arrow with an arrowhead on both sides when the glide plan is parallel to the plane of the screen or a dashed and double dotted line when the glide plane is perpendicular to the plane of the screen. There is also the n glide, which is a glide along the half of a diagonal of a face, and the d glide, which is along a fourth of either a face or space diagonal of the unit cell The latter is often called the diamond glide plane as it features in the diamond structure. The n glide plane may be indicated by diagonal arrow when it is parallel to the plane of the screen or a dashed dotted line when the glide plane is perpendicular to the plane of the screen. A d glide plane may be indicated by a diagonal half arrow if the glide plane is parallel to the plane of the screen or a dashed dotted line with arrows if the glide plane is perpendicular to the plane of the screen. If a d glide plane is present in a crystal system, then that crystal must have a centered lattice. In today's version of Hermann–Mauguin notation, the symbol e is used in cases where there are two possible ways of designating the glide direction because both are true. For example if a crystal has a base centered Bravais lattice centered on the C face, then a glide of half a cell unit in the a direction gives the same result as a glide of half a cell unit in the b direction. The isometry group generated by just a glide reflection is an infinite cyclic group. Combining two equal glide plane operations gives a pure translation with a translation vector that is twice that of the glide reflection, so the even powers of the glide reflection form a translation group. In the case of glide reflection symmetry, the symmetry group of an object contains a glide reflection and the group generated by it. For any symmetry group containing a glide reflection, the glide vector is one half of an element of the translation group. If the translation vector of a glide plane operation is itself an element of the translation group, then the corresponding glide plane symmetry reduces to a combination of reflection symmetry and translational symmetry.

Мысалдар мен қолдану

Едиакара биотасының кейбір қазбаларында, махаеридиандарда және кейбір палеосколецид құрттарында табиғатта жылжу симметриясын байқауға болады. Бұл симметрия көптеген қазіргі теңіз қаламшаларының түрлерінде де кездеседі. Конвейдің "Өмір ойынында" жиі кездесетін "планер" деп аталатын үлгі, екі қадамнан кейін жылжу рефлексиясы арқылы ығыстырылған жасушалардың конфигурациясын қайталайтындықтан осылай аталды. Төрт қадамнан және екі жылжу рефлексиясынан кейін үлгі бастапқы бағытына оралып, диагональ бойынша бір бірлікке ығысады. Осылай жалғаса берсе, ол ойын алаңында қозғалады.