Отражение-сдвиг: геометрическое преобразование

Введение

Геометрическое преобразование, сочетающее отражение и трансляцию.

В геометрии скольжение отражением, или трансфлексия, — это геометрическое преобразование, состоящее из отражения относительно гиперплоскости и трансляции ("сдвига") в направлении, параллельном этой гиперплоскости, объединенных в единое преобразование. Поскольку расстояния между точками не изменяются при скольжении отражением, оно является движением или изометрией. Если рассматривать двумерную евклидову плоскость, то гиперплоскостью отражения является прямая линия, называемая линией скольжения или осью скольжения. Если рассматривать трехмерное пространство, то гиперплоскостью отражения является плоскость, называемая плоскостью скольжения. Вектор смещения трансляции называется вектором скольжения. Если какой-либо геометрический объект или конфигурация остаются неизменными при преобразовании, говорят, что он обладает симметрией, а преобразование называется операцией симметрии. Симметрия скольжения отражением наблюдается в группах фризов (паттерны, повторяющиеся в одном измерении и часто используемые в декоративных бордюрах), группах обоев (регулярные тесселяции плоскости) и пространственных группах (описывающих, например, симметрии кристаллов). Объекты, обладающие симметрией скольжения отражением, как правило, не симметричны относительно простого отражения, но два последовательных применения одного и того же скольжения отражением приводят к двойной трансляции, поэтому объекты с симметрией скольжения отражением всегда также обладают простой трансляционной симметрией. Если отражение комбинируется с трансляцией в направлении, перпендикулярном гиперплоскости отражения, то составное преобразование является отражением относительно параллельной гиперплоскости. Однако, если отражение комбинируется с трансляцией в любом другом направлении, то составное преобразование является скольжением отражением, которое можно однозначно описать как отражение относительно параллельной гиперплоскости, составленное с трансляцией в направлении, параллельном гиперплоскости. Одно скольжение отражением представляется группой фризов p11g. Скольжение отражением можно рассматривать как предел роторефлексии, при котором вращение переходит в трансляцию. Ему также можно присвоить обозначение Шёнфлиса S2∞, обозначение Коксетера [∞+,2+] и обозначение орбифолда ∞×.

In geometry, a glide reflection or transflection is a geometric transformation that consists of a reflection across a hyperplane and a translation ("glide") in a direction parallel to that hyperplane, combined into a single transformation. Because the distances between points are not changed under glide reflection, it is a motion or isometry. When the context is the two dimensional Euclidean plane, the hyperplane of reflection is a straight line called the glide line or glide axis. When the context is three dimensional space, the hyperplane of reflection is a plane called the glide plane. The displacement vector of the translation is called the glide vector. When some geometrical object or configuration appears unchanged by a transformation, it is said to have symmetry, and the transformation is called a symmetry operation. Glide reflection symmetry is seen in frieze groups (patterns which repeat in one dimension, often used in decorative borders), wallpaper groups (regular tessellations of the plane), and space groups (which describe e. g. crystal symmetries). Objects with glide reflection symmetry are in general not symmetrical under reflection alone, but two applications of the same glide reflection result in a double translation, so objects with glide reflection symmetry always also have a simple translational symmetry. When a reflection is composed with a translation in a direction perpendicular to the hyperplane of reflection, the composition of the two transformations is a reflection in a parallel hyperplane. However, when a reflection is composed with a translation in any other direction, the composition of the two transformations is a glide reflection, which can be uniquely described as a reflection in a parallel hyperplane composed with a translation in a direction parallel to the hyperplane. A single glide is represented as frieze group p11g. A glide reflection can be seen as a limiting rotoreflection, where the rotation becomes a translation. It can also be given a Schoenflies notation as S2∞, Coxeter notation as [∞+,2+], and orbifold notation as ∞×.

Космические группы

В нотации Германна–Могена плоскости скольжения обозначаются a, b или c, в зависимости от того, вдоль какой оси происходит скольжение. (Ориентация плоскости определяется положением символа в обозначении Германна–Могена.) Если ось не определена, то плоскость скольжения может быть обозначена g. Когда плоскость скольжения параллельна плоскости проекции, эти плоскости могут быть изображены изогнутой стрелкой, наконечник которой указывает направление скольжения. Когда плоскость скольжения перпендикулярна плоскости проекции, эти плоскости могут быть представлены либо штриховыми линиями, если скольжение параллельно плоскости проекции, либо точками, если скольжение перпендикулярно плоскости проекции. Кроме того, центрированная решетка может приводить к тому, что плоскость скольжения существует одновременно в двух направлениях. Этот тип плоскости скольжения может быть обозначен изогнутой стрелкой с наконечниками с обеих сторон, когда плоскость скольжения параллельна плоскости проекции, или штриховой и двойной точкой, когда плоскость скольжения перпендикулярна плоскости проекции. Существует также скольжение n, которое представляет собой скольжение вдоль половины диагонали грани, и скольжение d, которое происходит вдоль четверти диагонали грани или элементарной ячейки. Последнее часто называют плоскостью скольжения типа «алмаз», поскольку оно встречается в алмазной структуре. Плоскость скольжения n может быть обозначена диагональной стрелкой, когда она параллельна плоскости проекции, или штриховой точкой, когда плоскость скольжения перпендикулярна плоскости проекции. Плоскость скольжения d может быть обозначена диагональной полустрелкой, если плоскость скольжения параллельна плоскости проекции, или штриховой точкой со стрелками, если плоскость скольжения перпендикулярна плоскости проекции. Если в кристаллической системе присутствует плоскость скольжения d, то эта кристаллическая система должна иметь центрированную решетку. В современной версии нотации Германна–Могена символ e используется в тех случаях, когда существует два возможных способа обозначения направления скольжения, поскольку оба верны. Например, если кристалл имеет базисно-центрированную решетку Браве с центрами на гранях C, то скольжение на половину единичной ячейки в направлении a дает тот же результат, что и скольжение на половину единичной ячейки в направлении b. Изометрическая группа, порожденная только скольжением и отражением, является бесконечной циклической группой. Комбинирование двух одинаковых операций на плоскости скольжения дает чистое трансляционное смещение с вектором трансляции, вдвое превышающим вектор скольжения, поэтому четные степени скольжения и отражения образуют трансляционную группу. В случае симметрии скольжения и отражения группа симметрии объекта содержит скольжение и отражение, а также группу, порожденную им. Для любой группы симметрии, содержащей скольжение и отражение, вектор скольжения является половиной элемента трансляционной группы. Если вектор трансляции операции скольжения сам является элементом трансляционной группы, то соответствующая симметрия скольжения сводится к комбинации зеркальной симметрии и трансляционной симметрии.

Glide planes are noted in the Hermann–Mauguin notation by a, b or c, depending on which axis the glide is along. (The orientation of the plane is determined by the position of the symbol in the Hermann–Mauguin designation.) If the axis is not defined, then the glide plane may be noted by g. When the glide plane is parallel to the screen, these planes may be indicated by a bent arrow in which the arrowhead indicates the direction of the glide. When the glide plane is perpendicular to the screen, these planes can be represented either by dashed lines when the glide is parallel to the plane of the screen or dotted lines when the glide is perpendicular to the plane of the screen. Additionally, a centered lattice can cause a glide plane to exist in two directions at the same time. This type of glide plane may be indicated by a bent arrow with an arrowhead on both sides when the glide plan is parallel to the plane of the screen or a dashed and double dotted line when the glide plane is perpendicular to the plane of the screen. There is also the n glide, which is a glide along the half of a diagonal of a face, and the d glide, which is along a fourth of either a face or space diagonal of the unit cell The latter is often called the diamond glide plane as it features in the diamond structure. The n glide plane may be indicated by diagonal arrow when it is parallel to the plane of the screen or a dashed dotted line when the glide plane is perpendicular to the plane of the screen. A d glide plane may be indicated by a diagonal half arrow if the glide plane is parallel to the plane of the screen or a dashed dotted line with arrows if the glide plane is perpendicular to the plane of the screen. If a d glide plane is present in a crystal system, then that crystal must have a centered lattice. In today's version of Hermann–Mauguin notation, the symbol e is used in cases where there are two possible ways of designating the glide direction because both are true. For example if a crystal has a base centered Bravais lattice centered on the C face, then a glide of half a cell unit in the a direction gives the same result as a glide of half a cell unit in the b direction. The isometry group generated by just a glide reflection is an infinite cyclic group. Combining two equal glide plane operations gives a pure translation with a translation vector that is twice that of the glide reflection, so the even powers of the glide reflection form a translation group. In the case of glide reflection symmetry, the symmetry group of an object contains a glide reflection and the group generated by it. For any symmetry group containing a glide reflection, the glide vector is one half of an element of the translation group. If the translation vector of a glide plane operation is itself an element of the translation group, then the corresponding glide plane symmetry reduces to a combination of reflection symmetry and translational symmetry.

Примеры и применения

В природе симметрию скольжения можно наблюдать у некоторых окаменелостей биоты Эдиакара, у махеридианцев и у некоторых червей палеосколецидов. Она также встречается у многих современных групп морских перьев. В "Игре жизни" Конвея часто встречающийся узор, называемый планером, получил свое название, поскольку он повторяет свою конфигурацию клеток, сдвинутую посредством скользящего отражения, через два шага автомата. После четырех шагов и двух скользящих отражений узор возвращается к своей исходной ориентации, смещенной по диагонали на одну единицу. Продолжая таким образом, он перемещается по игровому полю.