Азиялық опцион: ерекшеліктері мен бағалау әдістері
Asian option
Азиялық опцион – актив бағасының орташа мәніне негізделген экзотикалық опцион түрі. Баға манипуляциясы қаупін азайтады, екі түрі бар: белгілі және өзгермелі страйк опционы.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Азиялық опцион (немесе орташа құн опциясы) – опцион шартының ерекше түрі. Азиялық опциондарда төлем мөлшері белгілі бір уақыт аралығындағы негізгі активтің орташа бағасымен анықталады. Бұл, әдеттегі еуропалық және американдық опциондардан өзгеше, онда опцион шартының төлемі негізгі құралдың жүзеге асырылған кездегі бағасына байланысты болады; Азиялық опциондар экзотикалық опциондардың негізгі түрлерінің бірі болып табылады. Азиялық опциялардың екі түрі бар: орташа баға опциясы (белгілі страйкпен), онда страйк бағасы алдын ала анықталады және төлемді есептеу үшін негізгі активтің орташа бағасы қолданылады; және орташа страйк опциясы (өзгермелі страйкпен), онда негізгі активтің орташа бағасы мерзімі ішінде страйк бағасы болып табылады. Азиялық опциялардың бір артықшылығы – олар негізгі құралдың мерзімі біткенде нарықтық манипуляциялар қаупін азайтады. Азиялық опциялардың тағы бір артықшылығы – еуропалық немесе американдық опциялармен салыстырғандағы олардың құны. Орташалау мүмкіндігінің арқасында Азиялық опциялар опцияға тән құбылмалылықты төмендетеді; сондықтан Азиялық опциялар көбінесе еуропалық немесе американдық опциялардан арзан болады. Бұл, қаржылық есеп стандарты жөніндегі кеңестің қайта қарастырылған №123 нұсқауында корпорациялардың қызметкерлерге берілген акциялар опцияларын шығынға жатқызуын талап еткен компаниялар үшін тиімді.
An Asian option (or average value option) is a special type of option contract. For Asian options, the payoff is determined by the average underlying price over some pre set period of time. This is different from the case of the usual European option and American option, where the payoff of the option contract depends on the price of the underlying instrument at exercise; Asian options are thus one of the basic forms of exotic options. There are two types of Asian options: Average Price Option (fixed strike), where the strike price is predetermined and the averaging price of the underlying asset is used for payoff calculation; and Average Strike Option (floating strike), where the averaging price of the underlying asset over the duration becomes the strike price. One advantage of Asian options is that these reduce the risk of market manipulation of the underlying instrument at maturity. Another advantage of Asian options involves the relative cost of Asian options compared to European or American options. Because of the averaging feature, Asian options reduce the volatility inherent in the option; therefore, Asian options are typically cheaper than European or American options. This can be an advantage for corporations that are subject to the Financial Accounting Standards Board revised Statement No. 123, which required that corporations expense employee stock options.
Этимология
1980 жылдары Марк Стэндиш Лондондағы Bankers Trust компаниясында белгілі бір кіріс туындылары және меншіктік арбитраж саудасымен айналысты. Дэвид Спаутон 1984 жылдан бастап Bankers Trust компаниясында қаржы нарықтарында жүйелік талдаушы болып жұмыс істеді, сол кезде Англия Банкі алғаш рет Лондон нарығында валюталық опциялар жасауға банктерге лицензия берген болатын. 1987 жылы Стэндиш және Спаутон Токиода қызметтік сапарда болғанда, «жар мұнайдың орташа бағасына байланысты опцияларды бағалау үшін алғашқы коммерциялық есептеу формуласын жасады». Олар бұл экзотикалық опцияны Азиялық опция деп атады, себебі олар Азияда болған еді.
In the 1980s Mark Standish was with the London based Bankers Trust working on fixed income derivatives and proprietary arbitrage trading. David Spaughton worked as a systems analyst in the financial markets with Bankers Trust since 1984 when the Bank of England first gave licences for banks to do foreign exchange options in the London market. In 1987 Standish and Spaughton were in Tokyo on business when "they developed the first commercially used pricing formula for options linked to the average price of crude oil." They called this exotic option the Asian option because they were in Asia.
Азиялық опциялардың бағасы
Азиялық опциондарды Монте-Карло әдістерімен бағалау мәселесі Kemna және Vorst еңбегінде талқыланады. Опцион бағасын белгілеудегі жол интегралы тәсілінде геометриялық орташа үшін Фейнман мен Клейнерттің тиімді классикалық потенциалы арқылы мәселені шешуге болады. Роджерс пен Ши бағалау мәселесін ПДЭ тәсілімен шешеді. Азия стиліндегі опциондарды бағалауда Variance Gamma моделін тиімді пайдалануға болады. Содан кейін, Bondesson қатарының көмегімен Variance Gamma процесін жасау, Азия опциондарының бағасын есептеу жылдамдығын арттырады. Секундылық диффузиялар және стохастикалық өзгергіштік модельдерінде геометриялық Азия опциондарының бағалау мәселесін де шешуге болады. Леви модельдеріндегі арифметикалық Азия опциясы үшін сандық әдістерді қолдануға болады.
A discussion of the problem of pricing Asian options with Monte Carlo methods is given in a paper by Kemna and Vorst. In the path integral approach to option pricing, the problem for geometric average can be solved via the Effective Classical potential of Feynman and Kleinert. Rogers and Shi solve the pricing problem with a PDE approach. A Variance Gamma model can be efficiently implemented when pricing Asian style options. Then, using the Bondesson series representation to generate the variance gamma process can increase the computational performance of the Asian option pricer. Within jump diffusions and stochastic volatility models, the pricing problem for geometric Asian options can still be solved. For the arithmetic Asian option in Lévy models, one can rely on numerical methods
Геометриялық орташалаумен Еуропалық Азиялық сатып алу және сату опциялары
Біз геометриялық Азия опциясының жабық формадағы шешімін шығара аламыз; Монте-Карло симуляцияларында бақылау айнымалыларымен бірге қолданылғанда, бұл формула арифметикалық Азия опциясының нақты бағасын анықтауға көмектеседі. Ұдайы уақыт геометриялық орташасын былай анықтаймыз: мұндағы негізгі актив стандартты геометриялық Браун қозғалысын ұстанады. Осыдан тікелей есептеуге болады: бастапқыда , болған стохастикалық интегралды алу үшін: Бұл Ито леммасымен растала алады. Бұл өрнекті интегралдап, екенін ескере отырып, интегралдардың эквивалентті екенін анықтаймыз – бұл кейінірек туындыларда пайдалы болады. Мартингейл бағалауын қолдана отырып, геометриялық орташалаумен еуропалық Азиялық колл опциясының құны мынадан беріледі: , табу үшін біз мынадай теңдеуді қанағаттандыратын табылуы керек: Біраз алгебралық амалдардан кейін мынаны анықтаймыз: Осы сәтте стохастикалық интеграл осы мәселенің шешімін табудағы қиындық тудырады. Алайда, Ито изометриясы арқылы интегралдың қалыпты үлестірімге ие екенін тексеру оңай: Бұл, демек, бізде: Енді геометриялық орташалау арқылы еуропалық Азиялық колл опциясының құнын есептеуге болады! Осы жерде мынаны анықтаған жөн: Блэк-Шоулс моделіндегідей процестен өту арқылы мынаны анықтай аламыз: Шындығында, геометриялық орташалаумен еуропалық Азиялық пут опциясы үшін де сол аргументтерді қолдана отырып, мынаны анықтаймыз: Бұл геометриялық орташалаумен еуропалық Азия опциялары үшін пут-колл паритетінің нұсқасы бар екенін білдіреді:
We are able to derive a closed form solution for the geometric Asian option; when used in conjunction with control variates in Monte Carlo simulations, the formula is useful for deriving fair values for the arithmetic Asian option. Define the continuous time geometric mean as:where the underlying follows a standard geometric Brownian motion. It is straightforward from here to calculate that:To derive the stochastic integral, which was originally , note that:This may be confirmed by Itô's lemma. Integrating this expression and using the fact that , we find that the integrals are equivalent this will be useful later on in the derivation. Using martingale pricing, the value of the European Asian call with geometric averaging is given by:In order to find , we must find such that:After some algebra, we find that:At this point the stochastic integral is the sticking point for finding a solution to this problem. However, it is easy to verify with Itô isometry that the integral is normally distributed as:This is equivalent to saying that with Therefore, we have that:Now it is possible the calculate the value of the European Asian call with geometric averaging! At this point, it is useful to define:Going through the same process as is done with the Black Scholes model, we are able to find that:In fact, going through the same arguments for the European Asian put with geometric averaging , we find that:This implies that there exists a version of put call parity for European Asian options with geometric averaging:
Азиялық нұсқаның түрлері
Кейбір түрлері тікелей сату нарығында қолжетімді. Мысалы, BNP Paribas «шартты Азия опциясы» деп аталатын түрді ұсынды, онда негізгі активтің орташа бағасы алдын ала белгіленген шектен жоғары бағалар бойынша есептеледі. Шартты Азиялық сату опциясының төлемі мына формуламен анықталады:
There are some variations that are sold in the over the counter market. For example, BNP Paribas introduced a variation, termed conditional Asian option, where the average underlying price is based on observations of prices over a pre specified threshold. A conditional Asian put option has the payoff
мұнда – шекті мән, ал – индикатор функциясы, егер шарт орындалса 1-ге, әйтпесе 0-ге тең болады. Мұндай опция классикалық Азиялық сату опциясына қарағанда арзан балама болып табылады, себебі бағалардың қарастырылатын диапазонының шектелуі орташа бағаның құбылмалылығын төмендетеді. Ол көбінесе номиналды бағамен сатылады және 5 жылға дейін қолданылады. Шартты Азия опциясын бағалау туралы мәселені Фенг және Волкмер зерттеген.
where is the threshold and is an indicator function which equals if is true and equals zero otherwise. Such an option offers a cheaper alternative than the classic Asian put option, as the limitation on the range of observations reduces the volatility of average price. It is typically sold at the money and last for up to five years. The pricing of conditional Asian option is discussed by Feng and Volkmer.