Введение

Азиатский опцион (или опцион на среднюю стоимость) – это особый тип опционного контракта. Для азиатских опционов выплата определяется средней ценой базового актива за заранее установленный период времени. Это отличается от европейских и американских опционов, где выплата по опционному контракту зависит от цены базового инструмента на момент исполнения; таким образом, азиатские опционы являются одной из основных форм экзотических опционов. Существуют два типа азиатских опционов: опцион на среднюю цену (с фиксированной ценой исполнения), при котором цена исполнения предопределена, а для расчета выплаты используется средняя цена базового актива; и опцион на среднюю цену исполнения (с плавающей ценой исполнения), при котором средняя цена базового актива за весь период становится ценой исполнения. Одним из преимуществ азиатских опционов является снижение риска манипулирования рынком базовым инструментом в момент погашения. Другим преимуществом азиатских опционов является их относительная стоимость по сравнению с европейскими или американскими опционами. Благодаря усреднению, азиатские опционы снижают волатильность, присущую опционам; поэтому они, как правило, дешевле европейских или американских опционов. Это может быть выгодно для корпораций, подпадающих под пересмотренный стандарт № 123 Совета по стандартам финансовой отчетности, который требовал от компаний учитывать расходы на опционы на акции сотрудников.

Этимология

В 1980-х годах Марк Стендиш работал в лондонском банке Bankers Trust, занимаясь производными инструментами с фиксированным доходом и проприетарным арбитражем. Дэвид Спаутон работал системным аналитиком на финансовых рынках в Bankers Trust с 1984 года, когда Банк Англии впервые выдал банкам лицензии на операции с валютными опционами на лондонском рынке. В 1987 году Стендиш и Спаутон находились в Токио по делам, когда разработали первую коммерчески применимую формулу оценки опционов, привязанных к средней цене на сырую нефть. Они назвали этот экзотический опцион азиатским, поскольку находились в Азии.

Ценообразование азиатских опционов

Обсуждение проблемы ценообразования азиатских опционов с использованием методов Монте-Карло приводится в работе Kemna и Vorst. В рамках интегрального подхода к ценообразованию опционов задача для геометрического среднего может быть решена посредством эффективного классического потенциала Фейнмана и Кляйнерта. Роджерс и Ши решают задачу ценообразования, используя PDE-подход. Модель Variance Gamma может быть эффективно применена при ценообразовании опционов азиатского типа. Использование разложения Бондессона для генерации процесса Variance Gamma может повысить вычислительную эффективность калькулятора азиатских опционов. В рамках моделей с прыжками и стохастической волатильностью задача ценообразования геометрических азиатских опционов все еще может быть решена. Для арифметического азиатского опциона в моделях Леви можно использовать численные методы.

Европейские азиатские опционы на покупку и продажу с геометрическим усреднением

Мы можем получить решение в замкнутой форме для геометрического азиатского опциона; при использовании в сочетании с контрольными вариатами в симуляциях Монте-Карло, формула полезна для определения справедливых цен для арифметического азиатского опциона. Определим непрерывное геометрическое среднее как: где базовая величина следует стандартному геометрическому броуновскому движению. Отсюда непосредственно следует, что: Чтобы получить стохастический интеграл, который изначально был , заметим, что: Это может быть подтверждено леммой Ито. Интегрируя это выражение и используя тот факт, что , мы находим, что интегралы эквивалентны – это пригодится позже в вычислениях. Используя принцип ценообразования на основе мартингейлов, значение европейского азиатского колл-опциона с геометрическим усреднением задается как: Чтобы найти , мы должны найти такое , что: После некоторых алгебраических преобразований мы находим, что: В этой точке стохастический интеграл является ключевым моментом для нахождения решения этой задачи. Однако, легко проверить с помощью изометрии Ито, что интеграл имеет нормальное распределение: Это эквивалентно утверждению, что с , следовательно, мы имеем: Теперь можно вычислить значение европейского азиатского колл-опциона с геометрическим усреднением! На этом этапе полезно определить: Проходя через тот же процесс, что и в модели Блэка-Шоулза, мы можем найти, что: Фактически, применяя те же рассуждения к европейскому азиатскому пут-опциону с геометрическим усреднением, мы находим, что: Это подразумевает, что существует версия паритета пут-колл для европейских азиатских опционов с геометрическим усреднением:

Варианты азиатского варианта

Есть некоторые вариации, которые продаются на внебиржевом рынке. Например, BNP Paribas представила вариацию, названную условным азиатским опционом, где средняя цена базового актива рассчитывается на основе наблюдений за ценами, превышающими заранее определенный уровень. Условный азиатский опцион пут имеет выплату

где – это уровень, а – индикаторная функция, равная 1, если условие истинно, и 0 в противном случае. Такой опцион предлагает более дешевую альтернативу классическому азиатскому опциону пут, поскольку ограничение диапазона наблюдений снижает волатильность средней цены. Обычно он продается по текущей рыночной цене и имеет срок действия до пяти лет. Вопросы ценообразования условного азиатского опциона обсуждаются Фенгом и Волкмером.