Клейн төрт тобы – математикадағы абелдік топ, 4 элементтен тұрады. Өздігінен кері, екі элементтің қосылуы үшінші элементті береді. V₄ немесе K₄ деп белгіленеді.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық абель тобы
Mathematical abelian group
Математикада Клейннің төрт тобы – төрт элементі бар абель тобы, онда әр элемент өзінің керісі болып табылады (өзімен қосылғанда сәйкестік пайда болады) және үш сәйкестік емес элементтің кез келген екеуін қосу үшінші элементті береді. Оны квадрат емес тіктөртбұрыштың симметрия тобы (үш сәйкестік емес элемент – көлденең шағылысу, тік шағылысу және 180 градусқа бұру) ретінде, екі биттік бинарлық мәндердегі биттік қосымша немесе операциялар тобы ретінде немесе абстрактілі түрде ℤ2 × ℤ2, яғни 2-реттік циклдік топтың екі көшірмесінің тікелей көбейтіндісі ретінде де сипаттауға болады. Бұл топты Феликс Клейн 1884 жылы Vierergruppe (төрт топ) деп атады. Оны Клейн тобы деп те атайды және көбінесе V әрпімен немесе K4 арқылы белгілейді. Төрт элементі бар Клейннің төрт тобы – циклдік емес ең кішкентай топ. Изоморфизмге дейін, 4-реттік тек бір ғана топ бар: 4-реттік циклдік топ. Екі топ та абельдік.
In mathematics, the Klein four group is an abelian group with four elements, in which each element is self inverse (composing it with itself produces the identity) and in which composing any two of the three non identity elements produces the third one. It can be described as the symmetry group of a non square rectangle (with the three non identity elements being horizontal reflection, vertical reflection and 180 degree rotation), as the group of bitwise exclusive or operations on two bit binary values, or more abstractly as ℤ2 × ℤ2, the direct product of two copies of the cyclic group of order 2 by the Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian Groups. It was named Vierergruppe , meaning four group) by Felix Klein in 1884. It is also called the Klein group, and is often symbolized by the letter V or as K4. The Klein four group, with four elements, is the smallest group that is not cyclic. Up to isomorphism, there is only one other group of order four: the cyclic group of order 4. Both groups are abelian.
Алгебра
Галуа теориясына сәйкес, Клейннің төрт тобының болуы (әсіресе, оның орналасу бейнелеуі) Лодовико Феррари анықтаған радикалдар арқылы төртінші дәрежелі теңдеулердің түбірлерін есептеу формуласының пайда болуын түсіндіреді: S4 → S3 бейнелеуі Лагранж шешімдері тұрғысынан шешімді кубикаға сәйкес келеді. Шекті сақиналарды құрастыруда, төрт элементі бар он бір сақинаның сегізінде Клейннің төрт тобы олардың қосымша кіші құрылымы ретінде кездеседі. Егер ℝ× нөлдік емес нақты сандардың көбейту тобын, ал ℝ+ оң нақты сандардың көбейту тобын білдірсе, онда ℝ× × ℝ× – ℝ×ℝ сақинасының бірліктері тобы, ал ℝ+ × ℝ+ – ℝ× × ℝ× тобының кіші тобы (іс жүзінде, ол ℝ× × ℝ× тобының сәйкестік компоненті). Қосымша тобы (ℝ× × ℝ×) / (ℝ+ × ℝ+) Клейннің төрт тобымен изоморфты. Сол сияқты, бөлінген кешенді сандар сақинасының бірліктері тобы, оның сәйкестік компонентіне бөлінгенде, сондай-ақ Клейннің төрт тобын береді.
According to Galois theory, the existence of the Klein four group (and in particular, the permutation representation of it) explains the existence of the formula for calculating the roots of quartic equations in terms of radicals, as established by Lodovico Ferrari: the map S4 → S3 corresponds to the resolvent cubic, in terms of Lagrange resolvents. In the construction of finite rings, eight of the eleven rings with four elements have the Klein four group as their additive substructure. If ℝ× denotes the multiplicative group of non zero reals and ℝ+ the multiplicative group of positive reals, then ℝ× × ℝ× is the group of units of the ring ℝ×ℝ, and ℝ+ × ℝ+ is a subgroup of ℝ× × ℝ× (in fact it is the component of the identity of ℝ× × ℝ×). The quotient group (ℝ× × ℝ×) / (ℝ+ × ℝ+) is isomorphic to the Klein four group. In a similar fashion, the group of units of the split complex number ring, when divided by its identity component, also results in the Klein four group.
Граф теориясы
Қарапайым байланысқан графтардың арасында, Клейн төрттік тобын өзінің автоморфизм тобы ретінде қабылдайтын ең қарапайым (ең аз элементтері бар мағынасында) граф – төменде көрсетілген алмаз граф. Бұл граф, элементтері аз басқа да графтардың автоморфизм тобы болып табылады. Оларға төрт төбесі және бір қабырғасы бар граф жатады, ол қарапайым күйінде қалады, бірақ байланысын жоғалтады, сондай-ақ екі төбесі екі қабырғамен байланысқан граф, ол байланыстылығын сақтайды, бірақ қарапайымдығын жоғалтады.
Among the simple connected graph, the simplest (in the sense of having the fewest entities) that admits the Klein four group as its automorphism group is the diamond graph shown below. It is also the automorphism group of some other graphs that are simpler in the sense of having fewer entities. These include the graph with four vertices and one edge, which remains simple but loses connectivity, and the graph with two vertices connected to each other by two edges, which remains connected but loses simplicity.