Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Математическая абелева группа
Mathematical abelian group
В математике группа Кляйна из четырех элементов — это абелева группа, состоящая из четырех элементов, в которой каждый элемент является самообратным (то есть, композиция элемента с самим собой дает тождественный элемент), и композиция любых двух из трех нетождественных элементов дает третий нетождественный элемент. Её можно описать как группу симметрии прямоугольника, не являющегося квадратом (где три нетождественных элемента соответствуют горизонтальному отражению, вертикальному отражению и повороту на 180 градусов), как группу операций «исключающее ИЛИ» над двумя битовыми двоичными значениями, или, более абстрактно, как ℤ₂ × ℤ₂, прямое произведение двух копий циклической группы порядка 2, согласно Основной теореме о конечно порожденных абелевых группах. Она была названа Vierergruppe (что означает «группа из четырех») Феликсом Клейном в 1884 году. Её также называют группой Кляйна и часто обозначают буквой V или K₄. Группа Кляйна из четырех элементов является наименьшей группой, которая не является циклической. С точностью до изоморфизма существует только одна другая группа порядка четыре: циклическая группа порядка 4. Обе группы являются абелевыми.
In mathematics, the Klein four group is an abelian group with four elements, in which each element is self inverse (composing it with itself produces the identity) and in which composing any two of the three non identity elements produces the third one. It can be described as the symmetry group of a non square rectangle (with the three non identity elements being horizontal reflection, vertical reflection and 180 degree rotation), as the group of bitwise exclusive or operations on two bit binary values, or more abstractly as ℤ2 × ℤ2, the direct product of two copies of the cyclic group of order 2 by the Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian Groups. It was named Vierergruppe , meaning four group) by Felix Klein in 1884. It is also called the Klein group, and is often symbolized by the letter V or as K4. The Klein four group, with four elements, is the smallest group that is not cyclic. Up to isomorphism, there is only one other group of order four: the cyclic group of order 4. Both groups are abelian.
Алгебра
Согласно теории Галуа, существование группы Кляйна порядка четыре (и, в частности, её перестановки представления) объясняет существование формулы для вычисления корней уравнений четвёртой степени с помощью радикалов, установленной Лодовико Феррари: отображение S4 → S3 соответствует разрешающей кубике, выраженной в терминах разрешающих Лагранжа. При построении конечных колец восемь из одиннадцати колец с четырьмя элементами имеют группу Кляйна порядка четыре в качестве своей аддитивной подгруппы. Если ℝ× обозначает мультипликативную группу ненулевых вещественных чисел, а ℝ+ — мультипликативную группу положительных вещественных чисел, то ℝ× × ℝ× является группой единиц кольца ℝ×ℝ, а ℝ+ × ℝ+ — подгруппой ℝ× × ℝ× (фактически, это компонента единицы в ℝ× × ℝ×). Факторгруппа (ℝ× × ℝ×) / (ℝ+ × ℝ+) изоморфна группе Кляйна порядка четыре. Аналогичным образом, группа единиц кольца расщеплённых комплексных чисел, делённая на свою компоненту единицы, также даёт группу Кляйна порядка четыре.
According to Galois theory, the existence of the Klein four group (and in particular, the permutation representation of it) explains the existence of the formula for calculating the roots of quartic equations in terms of radicals, as established by Lodovico Ferrari: the map S4 → S3 corresponds to the resolvent cubic, in terms of Lagrange resolvents. In the construction of finite rings, eight of the eleven rings with four elements have the Klein four group as their additive substructure. If ℝ× denotes the multiplicative group of non zero reals and ℝ+ the multiplicative group of positive reals, then ℝ× × ℝ× is the group of units of the ring ℝ×ℝ, and ℝ+ × ℝ+ is a subgroup of ℝ× × ℝ× (in fact it is the component of the identity of ℝ× × ℝ×). The quotient group (ℝ× × ℝ×) / (ℝ+ × ℝ+) is isomorphic to the Klein four group. In a similar fashion, the group of units of the split complex number ring, when divided by its identity component, also results in the Klein four group.
Теория графов
Среди простых связных графов, наиболее простой (в смысле наименьшего числа элементов) граф, допускающий группу Кляйна четырех как свою группу автоморфизмов, – это ромбический граф, изображенный ниже. Эта группа также является группой автоморфизмов некоторых других графов, которые проще в том смысле, что содержат меньше элементов. К ним относятся граф с четырьмя вершинами и одним ребром, который остаётся простым, но теряет связность, и граф с двумя вершинами, соединёнными двумя рёбрами, который остаётся связным, но теряет простоту.
Among the simple connected graph, the simplest (in the sense of having the fewest entities) that admits the Klein four group as its automorphism group is the diamond graph shown below. It is also the automorphism group of some other graphs that are simpler in the sense of having fewer entities. These include the graph with four vertices and one edge, which remains simple but loses connectivity, and the graph with two vertices connected to each other by two edges, which remains connected but loses simplicity.