Введение

Квантово-механическая модель

В квантовой механике сферически симметричный потенциал – это система, потенциал которой зависит только от радиального расстояния от сферического центра и положения в пространстве. Частица в сферически симметричном потенциале будет вести себя в соответствии с этим потенциалом и поэтому может быть использована в качестве приближения, например, для описания электрона в атоме водорода или образования химических связей. В общем случае, не зависящем от времени, динамика частицы в сферически симметричном потенциале описывается гамильтонианом следующего вида: Здесь, – масса частицы, – оператор импульса, а потенциал зависит только от модуля вектора положения, то есть радиального расстояния от начала координат (отсюда сферическая симметрия задачи). Для описания частицы в сферически симметричной системе удобно использовать сферические координаты, обозначаемые , и . Уравнение Шредингера, не зависящее от времени, для этой системы является разделяемым частным дифференциальным уравнением. Это означает, что решения для угловых переменных уравнения можно найти независимо от радиальной переменной. В результате остается обыкновенное дифференциальное уравнение, выраженное только через радиус , которое определяет собственные состояния для заданного потенциала .

Состояния вакуумного случая

Теперь рассмотрим введение безразмерных переменных – уравнение примет вид уравнения Бесселя для : где регулярные решения при положительных энергиях задаются так называемыми функциями Бесселя первого рода, так что решения, записанные для , являются так называемыми сферическими функциями Бесселя.

Таким образом, решения уравнения Шредингера в полярных координатах в вакууме характеризуются тремя квантовыми числами: дискретными индексами ℓ и m, и k, непрерывно изменяющимся в : Эти решения описывают состояния с определенным угловым моментом, а не с определенным (линейным) импульсом, который описывается плоскими волнами.

Сфера с конечным "квадратным" потенциалом

Рассмотрим потенциал для и в другом месте, то есть внутри сферы радиуса потенциал равен , а за пределами сферы – нулю. Потенциал с такой конечной разрывностью называется прямоугольным потенциалом. Сначала рассмотрим связанные состояния, то есть состояния, при которых частица в основном находится внутри сферы (ограниченные состояния). Они имеют энергию меньше, чем потенциал за пределами сферы, то есть отрицательную энергию. Стоит также отметить, что в отличие от кулоновского потенциала, который допускает бесконечное число дискретных связанных состояний, сферический прямоугольный потенциал имеет лишь конечное (если вообще какое-либо) число таких состояний из-за своей ограниченной области действия. Решение в основном повторяет рассмотрение вакуумного случая, с добавлением нормализации полной волновой функции, и заключается в решении двух уравнений Шрёдингера – внутри и снаружи сферы – того же типа, то есть с постоянным потенциалом. Для нормализуемой физической волновой функции должны выполняться следующие условия:

Волновая функция должна быть регулярной в начале координат. Волновая функция и её производная должны быть непрерывными в точке разрыва потенциала. Волновая функция должна стремиться к нулю на бесконечности. Первое условие обусловлено тем, что функции Неймана и Хэнкля имеют сингулярность в начале координат. Физическое требование однозначности выбора функции Бесселя первого рода по сравнению с другими возможными функциями в вакуумном случае. По той же причине решение внутри сферы будет иметь аналогичный вид: Обратите внимание, что для связанных состояний, связанные состояния вносят новизну по сравнению с вакуумным случаем, а именно то, что… Это, вместе с третьим условием, определяет функцию Хэнкля первого рода как единственное решение, стремящееся к нулю на бесконечности (сингулярность этих функций в начале координат несущественна, поскольку мы находимся вне сферы): Второе условие, касающееся непрерывности в , вместе с условием нормализации, позволяет определить константы и . Непрерывность производной (или логарифмической производной для удобства) требует квантования энергии.

Сфера с бесконечным "квадратным" потенциалом

В случае, когда потенциальная яма бесконечно глубокая, так что мы можем принять волновой функцией внутри сферы и вне сферы, проблема сводится к согласованию волновой функции внутри сферы (сферические функции Бесселя) с волновой функцией, тождественно равной нулю вне сферы. Допустимые энергии соответствуют значениям, при которых радиальная волновая функция обращается в нуль на границе. Таким образом, мы используем нули сферических функций Бесселя для определения энергетического спектра и волновых функций. Обозначим k-й нуль функции как , тогда: и задача сводится к вычислению этих нулей, обычно с использованием таблицы или калькулятора, поскольку в общем случае аналитического решения не существует. В частном случае (сферически симметричные орбитали) сферическая функция Бесселя имеет вид , нули которой можно легко выразить как . Соответствующие собственные значения энергии равны: