Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Тип (математической) перестановки, не имеющей неподвижных элементов.
Type of (mathematical) permutation with no fixed element
В математике, и в частности в теории групп, циклическая перестановка — это перестановка, состоящая из одного цикла. В некоторых случаях циклические перестановки называют циклами; если циклическая перестановка содержит k элементов, её можно назвать k-циклом. Некоторые авторы расширяют это определение, включая перестановки с неподвижными точками в дополнение к максимум одному нетривиальному циклу. В циклической записи циклические перестановки обозначаются списком их элементов, заключённых в скобки, в порядке, в котором они переставляются. Например, перестановка (1 3 2 4), которая отображает 1 в 3, 3 в 2, 2 в 4 и 4 в 1, является 4-циклом, а перестановка (1 3 2)(4), которая отображает 1 в 3, 3 в 2, 2 в 1 и 4 в 4, некоторыми авторами считается 3-циклом. С другой стороны, перестановка (1 3)(2 4), которая отображает 1 в 3, 3 в 1, 2 в 4 и 4 в 2, не является циклической перестановкой, поскольку она отдельно переставляет пары {1, 3} и {2, 4}. Множество элементов, которые не являются неподвижными для циклической перестановки, называется орбитой циклической перестановки. Любая перестановка на конечном множестве элементов может быть разложена на циклические перестановки на непересекающихся орбитах. Отдельные циклические части перестановки также называются циклами, таким образом, второй пример состоит из 3-цикла и 1-цикла (или неподвижной точки), а третий состоит из двух 2-циклов.
In mathematics, and in particular in group theory, a cyclic permutation is a permutation consisting of a single cycle. In some cases, cyclic permutations are referred to as cycles; if a cyclic permutation has k elements, it may be called a k cycle. Some authors widen this definition to include permutations with fixed points in addition to at most one non trivial cycle. In cycle notation, cyclic permutations are denoted by the list of their elements enclosed with parentheses, in the order to which they are permuted. For example, the permutation (1 3 2 4) that sends 1 to 3, 3 to 2, 2 to 4 and 4 to 1 is a 4 cycle, and the permutation (1 3 2)(4) that sends 1 to 3, 3 to 2, 2 to 1 and 4 to 4 is considered a 3 cycle by some authors. On the other hand, the permutation (1 3)(2 4) that sends 1 to 3, 3 to 1, 2 to 4 and 4 to 2 is not a cyclic permutation because it separately permutes the pairs {1, 3} and {2, 4}. The set of elements that are not fixed by a cyclic permutation is called the orbit of the cyclic permutation. Every permutation on finitely many elements can be decomposed into cyclic permutations on disjoint orbits. The individual cyclic parts of a permutation are also called cycles, thus the second example is composed of a 3 cycle and a 1 cycle (or fixed point) and the third is composed of two 2 cycles.
Транспозиции
Цикл, состоящий только из двух элементов, называется транспозицией. Например, перестановка, которая меняет местами 2 и 4. Поскольку это 2-цикл, его можно записать как (2 4).
A cycle with only two elements is called a transposition. For example, the permutation that swaps 2 and 4. Since it is a 2 cycle, it can be written as .