Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Математическая операция в линейной алгебре
Mathematical operation in linear algebra
В математике, особенно в линейной алгебре, умножение матриц — это бинарная операция, результатом которой является матрица, полученная из двух матриц. Для выполнения умножения матриц количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы. Результирующая матрица, известная как произведение матриц, имеет число строк первой и число столбцов второй матрицы. Произведение матриц 'A' и 'B' обозначается как 'AB'. Матричное умножение впервые было описано французским математиком Жаком Филиппом Мари Бине в 1812 году для представления композиции линейных отображений, задаваемых матрицами. Таким образом, умножение матриц является базовым инструментом линейной алгебры и, как следствие, имеет многочисленные применения в различных областях математики, а также в прикладной математике, статистике, физике, экономике и инженерии. Вычисление произведения матриц является центральной операцией во всех вычислительных приложениях линейной алгебры.
In mathematics, particularly in linear algebra, matrix multiplication is a binary operation that produces a matrix from two matrices. For matrix multiplication, the number of columns in the first matrix must be equal to the number of rows in the second matrix. The resulting matrix, known as the matrix product, has the number of rows of the first and the number of columns of the second matrix. The product of matrices 'A' and 'B' is denoted as 'AB'. Matrix multiplication was first described by the French mathematician Jacques Philippe Marie Binet in 1812, to represent the composition of linear maps that are represented by matrices. Matrix multiplication is thus a basic tool of linear algebra, and as such has numerous applications in many areas of mathematics, as well as in applied mathematics, statistics, physics, economics, and engineering. Computing matrix products is a central operation in all computational applications of linear algebra.
Обозначение
В этой статье будут использоваться следующие обозначения: матрицы обозначаются заглавными буквами жирным шрифтом, например, **A**; векторы – строчными буквами жирным шрифтом, например, **a**; а элементы векторов и матриц – курсивом (это числа из поля), например, *A* и *a*. Индексная запись часто является наиболее понятным способом представления определений и является стандартной в литературе. Элемент в i-й строке и j-м столбце матрицы **A** обозначается как (**A**)ij, Aij или aij. В отличие от этого, один индекс, например, **A**1, **A**2, используется для выбора матрицы (а не элемента матрицы) из набора матриц.
This article will use the following notational conventions: matrices are represented by capital letters in bold, e. g. 'A'; vectors in lowercase bold, e. g. 'a'; and entries of vectors and matrices are italic (they are numbers from a field), e. g. A and a. Index notation is often the clearest way to express definitions, and is used as standard in the literature. The entry in row i, column j of matrix 'A' is indicated by ('A')ij, Aij or aij. In contrast, a single subscript, e. g. 'A'1, 'A'2, is used to select a matrix (not a matrix entry) from a collection of matrices.
Общие свойства
Умножение матриц обладает некоторыми свойствами, общими с обычным умножением. Однако умножение матриц не определено, если число столбцов первого сомножителя не совпадает с числом строк второго сомножителя, и оно некоммутативно, даже когда произведение остаётся определенным при изменении порядка сомножителей.
Matrix multiplication shares some properties with usual multiplication. However, matrix multiplication is not defined if the number of columns of the first factor differs from the number of rows of the second factor, and it is non commutative, even when the product remains defined after changing the order of the factors.