Введение

Векторные пространства, связанные с матрицей

В линейной алгебре, пространство столбцов (также называемое диапазоном или образом) матрицы A — это линейная оболочка (множество всех возможных линейных комбинаций) её векторов-столбцов. Пространство столбцов матрицы является образом или диапазоном соответствующего матричного преобразования. Пусть — поле. Пространство столбцов матрицы размера m × n с компонентами из является линейным подпространством m-мерного пространства . Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы и не превосходит min(m, n). Возможно определение для матриц над кольцом . Пространство строк определяется аналогичным образом. Пространство строк и пространство столбцов матрицы A иногда обозначаются как C(Aᵀ) и C(A) соответственно. В данной статье рассматриваются матрицы с действительными числами. Пространства строк и столбцов являются подпространствами вещественных пространств и соответственно.

Размер

Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы. Ранг равен числу ведущих элементов в приведённой ступенчатой форме, и является максимальным числом линейно независимых столбцов, которые можно выбрать из матрицы. Например, матрица 4 × 4 в приведённом выше примере имеет ранг три. Поскольку пространство столбцов является образом соответствующего линейного преобразования, ранг матрицы равен размерности образа. Например, преобразование, описываемое указанной матрицей, отображает все из в некоторое трёхмерное подпространство. Нуль-размерность матрицы — это размерность ядра, и она равна числу столбцов в приведённой ступенчатой форме, не содержащих ведущих элементов. Ранг и нуль-размерность матрицы A с n столбцами связаны соотношением:

Это известно как теорема о ранге и нуль-размерности.

Отношение к левому нулевому пространству

Левое нулевое пространство A — это множество всех векторов 'x', таких, что 1 = 'x'ᵀA = '0'ᵀ. Оно совпадает с нулевым пространством транспонированной матрицы A. Произведение матрицы Aᵀ и вектора 'x' можно представить через скалярное произведение векторов:

потому что строчные векторы Aᵀ являются транспонированными столбцовыми векторами 'v'ₖ матрицы A. Таким образом, 1 = Aᵀ'x' = '0' тогда и только тогда, когда вектор 'x' ортогонален (перпендикулярен) каждому столбцовому вектору матрицы A. Следовательно, левое нулевое пространство (нулевое пространство Aᵀ) является ортогональным дополнением к столбцовому пространству A. Для матрицы A столбцовое пространство, строчное пространство, нулевое пространство и левое нулевое пространство иногда называют четырьмя фундаментальными подпространствами.

Размер

Размер пространства строк называется рангом матрицы. Это то же самое, что максимальное количество линейно независимых строк, которые можно выбрать из матрицы, или, что эквивалентно, число ведущих элементов. Например, матрица 3 × 3 в приведенном выше примере имеет ранг два. Ранг матрицы также равен размерности пространства столбцов. Размерность нулевого пространства называется нулём матрицы и связана с рангом следующим уравнением:

где n — число столбцов матрицы A. Уравнение выше известно как теорема о ранге и нулём.

Отношение к нулевому пространству

Нулевое пространство матрицы A представляет собой множество всех векторов 'x', для которых A'x = '0'. Произведение матрицы A и вектора 'x' можно представить в виде скалярного произведения векторов:

где r₁ , ..., rₘ – векторы-строки матрицы A. Таким образом, A'x = '0' тогда и только тогда, когда вектор 'x' ортогонален (перпендикулярен) каждому из векторов-строк A. Следовательно, нулевое пространство A является ортогональным дополнением к пространству строк. Например, если пространство строк является плоскостью, проходящей через начало координат в трехмерном пространстве, то нулевое пространство будет перпендикулярной прямой, проходящей через начало координат. Это дает доказательство теоремы о ранге и нуль-размерности (см. раздел "Размерность" выше). Пространство строк и нулевое пространство – два из четырех фундаментальных подпространств, связанных с матрицей A (остальные два – пространство столбцов и левое нулевое пространство).

Отношение к coimage

Если V и W — векторные пространства, то ядром линейного преобразования T: V → W является множество векторов 'v' ∈ V, для которых T('v') = '0'. Ядро линейного преобразования аналогично нулевому пространству матрицы. Если V — внутреннее пространство произведения, то ортогональное дополнение к ядру можно рассматривать как обобщение пространства строк. Это иногда называют коизображением T. Преобразование T является инъективным на своем коизображении, и коизображение отображается изоморфно на образ T. Когда V не является внутренним пространством произведения, коизображение T можно определить как факторпространство V / ker(T).